第四单元 比例
一、教材分析
本单元的主要教学内容是：比例的意义和基本性质，解比例，正比例和反比例的意义，正比例图像，用比例的知识解决简单实际问题。
本单元是在学生掌握了比的知识的基础上进行教学的，它是今后学习数学和其他学科知识的重要基础。通过对比例知识的学习还可以加深对数量关系的认识，通过感知数量间的变化规律，获得初步的函数观念，提高解决实际问题的能力。
二、教学目标：
1.知识与技能:
（1）使学生理解比例的意义，会判断四个数是否能够组成比例。
（2）使学生理解比例的基本性质，能正确的解比例。
（3）使学生理解相关联的量，理解正比例和反比例的意义，掌握正反比例的量的变化规律。
（4）使学生认识正比例关系的图象，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值，体会数形结合思想。
（5）使学生理解比例尺的意义，掌握相应的数量关系，能正确的求图上距离、实际距离和比例尺。
（6）使学生认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比将简单图形放大与缩小，体会图形的相似。
2.过程与方法：通过动手、动脑、观察、计算、讨论等方式，使学生自主获取知识，全面参与教学活动。通过引导探究、概括归纳、讨论、合作学习，培养学生抽象概括能力。在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高问题解决能力。
3.情感态度与价值观：
使学生体会比例知识与其他知识之间的联系，综合运用多种知识，灵活解决实际问题，促进对知识间关系的理解，提高数学素养。培养学生在实际生活中发现数学的存在，并在实际生活中能感受到数学的趣味，提高学生学习数学的积极性。让学生体会函数思想，是学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
三、教学重难点
重点：理解比例的意义和基本性质。
难点：判断成正、反比例的量。
四、教学措施：
1.重视概念的理解，强调概念的应用，提升概念掌握的水平。
2.注重学生的参与，重视让学生经历知识、方法的获得过程，在此过程中积累基本的数学活动经验，获得基本的数学思想方法，提高能力。
3.重视知识的应用，重视问题解决的教学，让学生经历问题解决的完整过程。
4.注重知识的沟通与数理，重视问题解决策略的多样性和方法的灵活性。
5.提供灵活、综合、变式的练习，以高质量的思维材料促进学生思维的提升。
五、总课时数：16课时
1.比例的意义和基本性质---------------4课时
2.正比例和反比例---------------------5课时
3.比例的应用-------------------------4课时
4.整理和复习-------------------------2课时
5.自行车里的数学 --------------------1课时
第1课时
课题：比例的意义
教学内容：教材第40页内容及“做一做”，练习八第1--3题。
教学目标：
1.知识与技能：使学生理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否构成比例。
2.过程与方法：通过引导探究、概括归纳、讨论、合作学习，培养学生抽象概括能力。
3.情感态度和价值观：使学生初步感知事物间是相互联系、变化发展的。
教学重点：比例的意义，应用比例的意义判断两个比是否能构成比例。
教学难点：应用比例的意义判断两个比是否能构成比例。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、情境导入，明确目标
同学们，你们知道吗？在我们的身上也有很多有趣的比，如人的胸围的长度与身高之比是1:2，人脚的长度与身高的比是1:7。当人们了解了这些，又掌握了这种神奇的本领后，侦察员就能根据罪犯脚印的长度推测出身高。你想拥有这种本领吗？这种神奇的本领就是我们这节课所研究的内容，比例（板书课题：比例）
二、合作交流，探究新知
1.从课题中我们不难看出，比例和比有一定的关系，你们还记得比的意义吗？（学生回答）如何求比值？（学生回答）
2.借比值引出比例
师：那下面我们就先来用比的知识解决几道题。（观察教材中的主题图）
师：画面上出现了三幅不同大小的国旗，请同学们任选两面国旗来算一算它们各自长与宽的比值是多少？然后观察结果，你能发现什么？
（学生汇报发现，教师板书：两个比相等）
师：那我们就可以将这两个比用等号连接。
（教师板书：2.4∶1.6＝60∶40）
像这样表示两个比相等的式子就叫做比例。
3.探索组成比例的条件
师：请同学们再默读一遍比例的意义，思考：想要组成比例必须要具备哪些条件？（教师再强调：一定是比值相等的两个比才能组成比例。）
4.寻找比例 师：你还能从四面国旗中找出哪些比例？
（学生写在练习本上，然后汇报。教师板书2.4∶1.6＝15∶10 60∶40＝5∶ ）
5.介绍比例的第二种表示方法 师：我们在学习比的时候，可以把比写成分数的形式，那比例也能写成分数的形式吗？怎么写？（学生口答，教师板书： ）
6.区分比和比例
师：我们刚才一直在强调比和比例的联系，那么比就是比例吗？（小组交流）
从形式上区分：比由两个数组成；比例由四个数组成。
从意义上区分：比表示两个数相除；比例表示两个比相等的式子。
三、巩固新知，拓展应用
1.教材第40页“做一做”第1题。
（学生汇报比值是否相等，所以成不成比例。教师板书比例式）
2.教材第40页“做一做”第2题。
两个具有放大关系的三角形（图中的四个数据可以组成多少个比例？
3.师：通过刚才的几组题，我们进一步弄清了比例的意义，现在让我们一起来看看生活中的比例吧。
小明买了3本笔记本花了9元钱，李刚买了5本同样的笔记本花了15元。（你能根据题中的数据写出几组比例式吗？并说出理由。）
4.练习八第1--3题。
四、课堂总结
师：这节课，大家都非常积极和认真，老师相信你们的收获肯定很多，那谁来说说本节课有什么收获？（学生自由说）
板书设计
比例的意义
像这样表示两个比相等的式子就叫做比例。
第2课时
课题：比例的基本性质。
教学内容：教材第41页例1、“做一做”，练习八第5---7题。
教学目标：
1.知识与技能：使学生认识比例的“项”以及“内项”和“外项”。 理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例。
2.过程与方法：通过引导观察、探究、概括归纳、讨论、合作学习，自主探究发现比例的基本性质，培养学生抽象概括能力。
3.情感态度和价值观：使学生初步感知事物间是相互联系、变化发展的。
教学重点：理解并掌握比例的基本性质
教学难点：应用比的基本性质判断两个数能否成比例，并正确的组成比例。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、训练铺垫，情境导入
1.我们已经认识了比例，谁能说一下什么叫比例？
2.应用比例的意义判断下面的比能否组成比例。
0．5:0.25和0.2:0.4 1∶5和0.8∶4；
7∶4和5∶3 80∶2和200∶5
（一是看两个比的比值是否相同，二是看他们化成最简比是否相同）
今天老师将和大家再学习一种更快捷的方法来判断两个比能否组成比例）
板书：比例的基本性质
二、合作交流，探究新知
1.教学比例各部分的名称．
同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了，那么，比例各部分的名称是什么?请同学们翻开教材第41页看看什么叫比例的项、外项和内项。
(学生看书时，教师板书：2.4：1.6=60：40)让学生指出板书中的比例的外项和内项。学生回答的同时，板书：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
2.教学比例的基本性质。
(1)教师：比例有什么性质呢?现在我们就来研究。
学生分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。
教师板书：
两个外项的积是2.4×40＝96
两个内项的积是1.6×60＝96
(2)教师：你发现了什么，
两个外项的积等于两个内项的积
是不是所有的比例都存在这样的特点呢?
学生分组计算前面判断过的比例。
(3)通过计算，我们发现所有的比例都有这个样的特点，谁能用一句话把这个特点说出来?(可多让一些学生说，说得不完整也没关系，让后说的同学在先说的同学的基础上说得更完整．)
(4)最后师生共同归纳并板书：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。教师说明这叫做比例的基本性质。
(5)如果把比例写成分数形式，比例的基本性质又是怎样的呢?
指名学生改写，这个比例的外项是哪两个数呢?内项呢?
当比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积怎么样?(边问边画出交叉线)
(6)强调：如果把比例写成分数的形式，比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘的积相等。以前我们是通过计算它们的比值来判断两个比是不是成比例的。学过比例的基本性质后,也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能组成比例。
三、巩固新知，拓展应用
1.完成41页做一做。
2.练习八第5---7题。
四、课堂总结：
通过这节课，我们学到了什么知识?什么是比例?比例的基本性质是什么?应用比例的基本性质可以做什么?通过以上学习，大家一定进一步了解比例了吧？
板书设计
比例的基本性质
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
第3课时
课题： 解比例
教学内容：教材第42页例2、3，“做一做”，练习八第8---10题。
教学目标：
1.知识与技能：使学生学会解比例的方法，进一步理解和掌握比例的基本性质。
2.过程与方法：通过合作交流、尝试练习，提高学生运用比例的基本性质解比例的能力。
3.情感态度和价值观：培养学生的知识迁移的能力，增强学生的合作意识。
教学重点：使学生掌握解比例的方法，学会解比例。
教学难点：引导学生根据比例的基本性质，将比例改写成两个内项的积等于两个外项积的形式，即已学过的含有未知数的等式。
教具准备：多媒体课件
教学过程：
一、训练铺垫，情境导入
1.师：同学们，我们已经学习了比例的一些知识，谁来说一说上节课我们学习了哪些比例的知识？ （比例的意义，比例的基本性质）
2.利用比例的一些知识，还可以帮助我们解决一些实际问题。
出示比例：3∶9=（ ）∶15 师：这个比例中的两个外项和两个内项分别是多少？
我们知道比例共有四项，如果知道其中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。 像这样，求比例中未知的项，叫做解比例。解比例要根据比例的基本性质来解。（课件出示）。 今天这节课就利用比例的有关知识解比例。（板书课题）
二、合作交流，探究新知
1.出示埃菲尔铁塔情境图。
这是法国巴黎有名的塔叫埃菲尔铁塔,高320米。我国的旅游景点北京公园里有这座塔的一具模型,这具模型有多高呢?到北京公园游玩的游客都想知道.你们能帮帮他们吗?那我们先来看看这道题。
2. 教学例2。
出示例题，学生读题。
师：1∶10是谁与谁的比？教师随学生的回答板书
师：题中还告诉了我们一个什么条件？ （埃菲尔铁塔实际的高度是320米。）
师：这样在这组比例的四个项中，我们知道其中的几个项？还有几个项不知道？（知道其中的三个项，还有一个项不知道。）
师：不知道这个项，我们把它叫做未知项。（在板书下面加上“未知项”三个字）
师：这样知道比例中的任何三项，我们就可以求出这个比例中的另外一个未知项。怎样根据这个比例中的三项来求另外一个未知项呢？这就要用到我们前面学习的比例的基本性质。我们把埃菲尔铁塔模型的高度设为x米。可以写成一个比例，谁来说说看？
师：用比例的基本性质可以把这个比例改写成一个什么样的等式呢？谁上来做做? 为什么可以写成这样的等式呢?
引导学生讨论后回答：这是应用了比例的基本性质，把上面的比例写成两个外项的积等于两个内项的积的等式。
师：对了，把上面的比例改写成下面这样一个等式，就是应用了比例的基本性质。应用比例的基本性质，不但把比例改写成了等式，这个等式还是一个什么样的等式呀？（含有未知数的等式。）
师：同学们会解方程吗？把这个方程解出来。
在全班学生独立解答的同时，抽一个学生在黑板上解答。
师：这样我们就知道这个未知项是多少呀？（32）对了，这座埃菲尔铁塔模型的高度是32米。 那么求出方程中的未知数就叫做什么?(解方程)那么在这个比例式中,我们知道了任意三项,要求出其中一项的过程又叫做什么?(解比例)
出示比例的意义。我们解答得对不对呢？可以怎样检验呢？
解比例在生活中的应用十分广泛,我们处处都有可能用到,要是遇到这样的问题怎么来解决呢?
我们先来总结总结:(在这道题里,我们先根据问题设X——再依据比例的意义列出比例式——然后根据比例的基本性质把比例转化为方程——最后解方程) 现在同学们会用解比例的方法来解决问题了吗? 3、这个比例你能解答吗？
3.出示例3： 2.4/1.5=6/X
(1)谈话引导学生理解例3，这个比例形式上与例2有什么不同？（这个比例是分数形式）
(2) 解这种比例时,要注意些什么呢?(找出比例的外项、内项)，让学生指出这个比例的外项、内项
学生独立练习，求出未知项
同学间互相交流，发现问题及时解决
请一位学生上台板演完成例3 、4、
4.小结：
解比例的关键是根据比例的基本性质把比例转化成方程，
然后用解方程的方法来求未知数x。含未知数的比例就是一种特殊的方程，不论在书写格式还是验算方法上，与解方程都是相同的。
三、巩固新知，拓展应用
1.教材第42页“做一做”。
2.练习八第8---10题。
四、课堂总结：这节课主要学习了什么内容?
什么叫解比例?怎样解比例?(先依据比例的基本性质,把比例转化为方程,再解方程求解。)
板书设计
解比例
求比例中未知的项，叫做解比例。解比例要根据比例的基本性质来解。
方法：根据问题设X——再依据比例的意义列出比例式——然后根据比例的基本性质把比例转化为方程——最后解方程
第4课时
课题：比例的意义、基本性质和解比例练习课
教学内容：练习八第11---15题。
教学目标：
1.知识与技能：运用所学知识解决实际问题培养学生的计算能力
2.过程与方法：通过引导探究、概括归纳、讨论、合作学习，培养学生抽象概括能力。
3.情感态度和价值观：培养学生解决问题的能力，提高做题的效率。
教学重点：通过练习，培养学生应用所学知识解决实际问题
教学难点：在解比例时，能够准确找到对应量，并准确计算。
教学过程：
复习------出示课题
1.什么叫做比例？比例由几个项组成。分别叫什么？
2.比例的基本性质是什么？
3.什么叫解比例？
二、基础练习
1、把能组成比例的比连起来
80:4 0.8:0.4
18:12 30:20
20:10 20:1
2、下面两个比能组成比例吗？为什么？
3.6∶1.8和0.5∶0.25 40∶80和1/2∶1/4
18：12和30：20
师小结：我们可以根据两个相等的比叫做比例和比例的内项积等于外项积两种方法来判断是否能组成比例。
3、解比例，请独立做，比比看谁最认真。
X∶6.5=6∶4 5∶8= X∶16
1.5∶X=2∶4.2 1/2∶4= 1/4∶X
师小结：用内项的积等于外项的积来解比例。
三、综合练习
1、李叔叔承包了两块水稻田，面积分别是0.5公顷和0.8公顷。秋收时，两块水稻田的产量分别为3.75吨和6吨。
两块水稻田的产量与面积之比，是否可以组成比例？如果可以组成比例，指出比例的内项和外项。
师总结：判断两个比能否组成比例的基本性质的三种方法：①比例的意义；②比例的基本性质；③小数与大数相结合，剩下的2个数相结合，然后用比例的基本性质验证。找好后其中的两项作为内项，另外两项作为外项。要根据具体情况灵活选择判断方法。
2、ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ，如果把ａ扩大到原来的10倍，要使比例成立，则（ ）
① b缩小到原来的 ②c扩大到原来的10倍
③d扩大到原来的10倍 ④c缩小到原来的
3、写出比值是0.4的两个比，并组成比例。
4、已知a和b都是不为0的自然数，3∶b=a∶8，你知道ａｂ各是多少吗？
5、2013年5月22日，中华鲟纪念币和白鳍豚纪念币的价格比是2:3，每枚中华鲟纪念币的价格是50元，每枚白鳍豚纪念币的价格是多少元？
6、中午，太阳当头照。小明身高1.5m，他的影子长0.5m。一棵松树的影子长10m，它的高度是多少米呢？
逐一出示，学生读题后独立解答。
四、巩固练习
练习八第11---15题。
重点引导学生找到两个比的前、后项，使所对应的量是一致的，理解具体情境中的比的意义。
五、课堂总结：
师：说说自己在这节课都有哪些收获？
第5课时
课题：正比例
教学内容：教材第45页例1、第46页“做一做”。
教学目标：
1.知识与技能：使学生理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断是不是成正比例。
2.过程与方法：经历正比例意义的构建过程，培养学生概括能力和分析判断能力。
3.情感态度和价值观：培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。
教学重点：成正比例的量的特征及其判断方法。
教学难点：理解两个变量之间的比例关系，发现思考两种相关联的量的变化规律。
教具准备：多媒体课件
教学过程：
一、情境导入，明确目标
同学们，我们都有去商店买东西的经历，而在这里面也有很多的数学知识，你们有没有信心学好本节课的内容，去解决生活中的问题呢？
这节课我们来学习正比例的有关知识。------出示课题
二、合作交流，探究新知
1.出示例1：文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/米
1
2
3
4
5
6
7
8
...
总价/元
3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
...
观察上表，回答下面的问题。
（1）表中有哪两种量？
（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？
（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？
2.学生根据提示，完成上面几个问题。
3.根据计算，你发现了什么?
4.汇报交流
a 从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值总是一定的。
b 相对应的两个数的比的比值一样或固定不变,在数学上叫做一定。用式子表示他们的关系是:总价/数量=单价(一定)
c 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
d 上表中，总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。
5.如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示： y/x=k(一定)
6.教学正比例图像
（1）成正比例关系的两个量中相对应的数都看作一个数对，引导学生在格子纸上描点，然后连线。
（2）观察图 ，,发现什么规律？
学生汇报自己的发现：正比例的图像是一条射线。
、根据图像判断，如果买9米彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
引导学生在格子纸上查找
三、巩固新知，拓展应用
1.举一举生活中的正比例关系的例子 。
2.完成教材第46页“做一做 ”。
四、课堂总结
什么是成正比例的量？它必须具备什么条件？怎样判断成正比例的量？
板书设计
正比例
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
第6课时
课题：正比例的练习课
教学内容：练习九的第1---7题
教学目标：
1.知识与技能：使学生进一步理解、掌握正比例的意义和性质，并能正确判断成正比例的量。
2.过程与方法：通过合作交流，进一步理解、掌握正比例的意义和性质，并能正确判断成正比例的量。
3.情感态度和价值观：培养学生观察、分析问题的能力。
教学重点：使学生进一步理解、掌握正比例的意义和性质，并能正确判断成正比例的量。
教学难点：根据所学知识，解决实际问题。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、问题引入， 回顾再现
1、请你说一说正比例的意义。
2、根据刚才所说的，想一想成正比例需要几个要素？
指名说正比例的意义，两个量是否成正比例要看：两个量是否都变化，是否相关联，比值是否相等。
二、分层练习 强化提高
青岛啤酒厂有一条自动生产线，每分钟生产啤酒60瓶，5分钟，10分钟，15分钟……..生产啤酒多少瓶？
讨论学习：生产啤酒的数量与生产的事件是不是成正比例？
1、分组学习，可以利用列表的方法。
2、检查学习效果。
3、练一练：正方形的边长与周长成正比例吗？为什么？
指名辨别，并说明理由，要求说清楚两个量的比值是谁，是不是一定。
4、判断练习
（1）每个小朋友年年都要长高，那么小明的身高和年龄。
（2）平行四边形的底一定，平行四边形得高与面积
（3）每公顷播种量一定，播种土地的公顷数与需种子数。
5、概括小结
谈话： ①:我们在用比例解决问题时要注意什么？（两种相关联的量要成正比例关系）
②:用比例方法解答应用题，具体步骤是怎样的呢？（a 分析判断b找出列比例式所需的相等关系c设未知数列等式d求解e检验写答语）
尝试解题，学生练习后讨论小结解题步骤。
学生同桌讨论后让学生交流自己的观点。
补充练习：
2个箱子能装24瓶啤酒，40箱能装多少瓶啤酒？（用比例解）
（关注学生正确找出成正比例的两个量：每箱啤酒的瓶数一定，啤酒总瓶数与箱数成正比例）学生自主完成，集体交流。
学生尝试练习：用比例解决相关问题，关键是找清两个相关联的量的什么，它们之间的比值是多少。
三、练习九的第1---7题
第1题，引导学生观察表格，然后计算和比较几组相对应的数的比值，最后，根据正比例关系的意义作出判断。
第2题，引导学生根据成正比例关系的量的定义判断。
第3题，引导学生能根据正比例图像解决问题。
第4题，引导学生严格按照成比例关系的定义来列出比例式。
第5题，使学生知道：在同一时间，同一地点的前提下，任何物体的高度与他的影子的长度都是成正比例的量。
第6题，让学生通过填表，描点，连线发现，n是自然数，2n表示的是偶数，2n和n也是成正比例的量，比值等于2是不变的，图像也符合正比例图像的特点。
第7题，重在引导学生能根据正比例图像解决问题。
四、小结：
你还有什么不明白的地方？
第7课时
课题：反比例：
教学内容：教材第47页例2，第48页及“做一做”。
教学目标：
1.知识与技能：理解反比例的意义，能根据反比例的意义，正确的判断两种量是否成反比例。
2.过程与方法：通过引导学生讨论探究，分析合作，使学生进一步认识事物之间的联系和发展变化的规律。
3.情感态度和价值观：初步渗透函数思想。
教学重点：引导学生总结出成反比例的量,是相关的两种量中相对应的两个数积一定,进而抽象概括出成反比例的关系式.
教学难点：利用反比例的意义,正确判断
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