第十八章平行四边形章末测试（二）
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AD=BC C．AB∥CD，∠A=∠C D．AB∥CD，AB=CD
2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，若想使四边形ABCD为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①如果再添加条件：“BC=AD”，②如果再添加条件“∠BAD=∠BCD”，
③如果再添加条件“OA=OC”，④如果再添加条件“∠ABD=∠CAB．
A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④
3．如图平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH与EF线交于点O，图中共有平行四边形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列所给条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥CD C．AB∥CD，AD=BC D．AD=BC，AB=CD
5．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F是AC上两点，点E、F的位置只须满足条件（ ）时，四边形DEBF是平行四边形．
A．点E、F分别为OA、OC的中点 B．OE=OD，OF=OB
C．OE=OA，OF=OC D．OE⊥BD，OF⊥BD
6．如图，在四边形ABCD中，E是BC边上的一点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，且DE=EF，AB=EF．再添加一个条件，你认为下面四个条件中能使四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDE
7．如图，下面不能判断是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD∥BC
C．AD=BC，AB=CD D．∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
8．四边形ABCD中，AD∥BC，要判定ABCD是平行四边形，那么还需满足（ ）
A．∠B+∠C=180° B．∠B+∠D=180° C．∠A+∠B=180° D．∠A+∠D=180°
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．▱ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB= _________ cm，BC= _________ cm．
10．如图，平行四边形ABCD中，AB=18cm，PC=6cm，AP是∠DAB的平分线，则平行四边形ABCD的周长为 _________ ．
11．如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，DE交AC于点F，AF=2，则FC= _________ ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，已知△ABC的周长比△BCD的周长大4cm，BD=6，则AC= _________ cm．
13．如图，▱ABCD中，∠B=118°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F= _________ ．
14．如图，在▱ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，∠BCD的平分线交AD于M，则AM= _________ ．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
16．（6分）如图，▱ABCD中，E、F分别为边AB、DC上的点，且DF=BE，连接EF交AC于点M．
求证：EF与AC互相平分．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于F点，连接AC、DF，请判断四边形ACFD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
18（8分）．已知如图，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由．
19（8分）．如图所示，已知▱ABCD中，AC的平行线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交AB，BC于P，Q，求证：QM=NP．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，E为AD的中点，过A点作AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接BF，若BF∥AD，求证：BD=CD．
21（8分）．如图：已知在平行四边形ABCD中，AF=CE，FG⊥AD于G，EH⊥BC于H
求证：GH与EF互相平分．
22（8分）．已知：如图，▱ABCD中，点E、F分别在线段AB、CD上，且DF=BE
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
23（10分）．如图所示，已知在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上的点，且∠ABE=∠BAC，EF∥AB，DF∥BE，请猜想DF与AE有怎样的关系，并说明理由．
24（10分）．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
求证：
（1）AD是△ABC的中线；
（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．
第十八章平行四边形章末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A． ∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AD=BC C． AB∥CD，∠A=∠C D． AB∥CD，AB=CD
考点： 平行四边形的判定．菁优网版权所有
分析： 平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据所平行四边形的判定可推得出结论．
解答： 解：如图所示，根据平行四边形的判定定理，选项A、C、D可以判定．B中AB∥CD，AD=BC，即一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形，不能判定．
故选B．
点评： 本题考查平行四边形的判定，有很多选项通常用等腰梯形做反例来推翻其不成立．
2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，若想使四边形ABCD为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①如果再添加条件：“BC=AD”，②如果再添加条件“∠BAD=∠BCD”，
③如果再添加条件“OA=OC”，④如果再添加条件“∠ABD=∠CAB．
A． ①或② B．①或③或④ C．②或③ D． ②或③或④
考点： 平行四边形的判定．菁优网版权所有
专题： 开放型．
分析： 根据已知条件AB∥CD，再加上各小题添加的条件，结合平行四边形的判定方法，逐一分析判断即可．
解答： 解：①若添加BC=AD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD，一组对边平行，另一组对边相等，四边形ABCD有可能是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故本条件不可以；
②若添加∠BAD=∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本条件可以；
③若添加OA=OC，
∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△ABO和△CDO中，
∵，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本条件可以；
④若添加∠ABD=∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠CAB=∠ACD，
再加上∠AOB=∠COD，
三组角对应相等，不能判定△ABO和△CDO全等，得不到AB=CD，
所以，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本条件不可以；
综上所述，可以使四边形ABCD为平行四边形的是②或③．
故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，根据AB∥CD与添加的条件进行推理得到判定平行四边形的条件是解题的关键．
3．如图平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH与EF线交于点O，图中共有平行四边形的个数是（ ）
A． 6 B．7 C．8 D． 9
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，掌握一定的方法，逐一记数．
解答： 解：根据平行四边形的定义，图中的四边形AEOG，AEFD，AGHB，CHOF，CHGD，CBEF，BHOE，DGOF和ABCD都是平行四边形，共9个．故选D．
点评： 本题可根据平行四变形的定义，直接从图中输出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列所给条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥CD C． AB∥CD，AD=BC D． AD=BC，AB=CD
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 推理填空题．
分析： 平行四边形对角线互相平分，两组对边平行且相等，依次便可作答．
解答： 解：A中对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，A对；
B中两组对边分别平行，也是平行四边形，B对；
C中也可能是等腰梯形，C错：
D中两组对边分别相等，D对．
故应选C．
点评： 本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．
5．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F是AC上两点，点E、F的位置只须满足条件（ ）时，四边形DEBF是平行四边形．
A． 点E、F分别为OA、OC的中点 B． OE=OD，OF=OB
C． OE=OA，OF=OC D． OE⊥BD，OF⊥BD
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： 由于四边形ABCD是平行四边形，那么OB=OD，OA=OC，而点E、F分别为OA、OC的中点，易证OE=OF，那么两组对角线互相平分，故四边形DEBF是平行四边形．利用排除法可选正确答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵点E、F分别为OA、OC的中点，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
故选A．
点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是注意掌握两组对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．如图，在四边形ABCD中，E是BC边上的一点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，且DE=EF，AB=EF．再添加一个条件，你认为下面四个条件中能使四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D． ∠F=∠CDE
考点： 平行四边形的判定．菁优网版权所有
分析： 把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，AAS即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB．
解答： 解：添加：∠F=∠CDE，
理由：
在△DEC与△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC=BF，∠C=∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB=BF，
∴DC=AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：D．
点评： 本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7．如图，下面不能判断是平行四边形的是（ ）
A． AB=CD，AD∥BC B． AB∥CD，AD∥BC
C． AD=BC，AB=CD D． ∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
考点： 平行四边形的判定．菁优网版权所有
分析： 根据平行四边形各种判定方法判定四边形ABCD为平行四边形，即可判断A、B、C、D选项是否可以证明四边形为平行四边形．
解答： 解：A、一组对边平行，而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故错误，符合题意；
B、根据两组对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项不合题意；
C、两组对边相等相等的四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项不合题意；
D、根据∠B+∠DAB=180°可以证明AD∥BC，根据∠B=∠BCD=180°可以证明AB∥CD，根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项不合题意．
故选 A．
点评： 本题考查了平行四边形的不同的证明方法，考查了平行四边形的定义，本题中根据不同的方法求正四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
8．四边形ABCD中，AD∥BC，要判定ABCD是平行四边形，那么还需满足（ ）
A． ∠B+∠C=180° B．∠B+∠D=180° C．∠A+∠B=180° D． ∠A+∠D=180°
考点： 平行四边形的判定．菁优网版权所有
分析： 根据平行四边形的5种判定方法分别进行分析即可．
解答： 解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴要想成为平行四边形还需AB∥CD，
∴当∠B+∠C=180°时，AB∥CD，
故选A．
点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
二．填空题（共6小题）
9．▱ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB= 19 cm，BC= 11 cm．
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB比BC大4cm，继而可求出AB、BC的长度．
解答： 解：∵▱ABCD的周长为60cm，
∴BC+AB=30cm，①
又∵△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，
∴AB﹣BC=8cm，②
由①②得
AB=19cm，BC=11cm．
故答案为：19，11．
点评： 此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
10．如图，平行四边形ABCD中，AB=18cm，PC=6cm，AP是∠DAB的平分线，则平行四边形ABCD的周长为 60cm ．
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 由平行四边形ABCD中，AB=18cm，PC=6cm，可求得CD与DP的长，又由AP是∠DAB的平分线，可得△ADP是等腰三角形，继而求得AD的长，则可求得平行四边形ABCD的周长．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=18cm，
∵PC=6cm，
∴DP=DC﹣PC=12cm，
∴∠DPA=∠BAP，
∵AP是∠DAB的平分线，
∴∠DAP=∠BAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DP=AD=12cm，
∴BC=AD=12cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：18+12+18+12=60（cm）．
故答案为：60cm．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，DE交AC于点F，AF=2，则FC= 4 ．
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 要求FC的长，只要能证明△AEF∽△CDF利用线段比就可以求出其长，▱ABCD中，DC∥AB，问题就得以解决．
解答： 解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED，∠DCA=∠CAB，
∴△AEF∽△CDF，
∴=，
∵E是AB的中点，
∴AE=AB，
∴AE=CD，即 =，
∵AF=2，
∴=，
即CF=4，
故答案为：CF=4．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判断与性质．难度不大．
12．如图，在平行四边形ABCD中，已知△ABC的周长比△BCD的周长大4cm，BD=6，则AC= 10 cm．
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题： 数形结合．
分析： 根据平行四边形的性质可得DC=AB，AC=BD，再由，△ABC的周长比△BCD的周长大4cm，可得出AC﹣BD=6，继而得出AC的长．
解答： 解：由题意得，DC=AB，AC=BD，
∵△ABC的周长=AB+BC+AC，△BCD的周长=BC+CD+BD，△ABC的周长比△BCD的周长大4cm，
∴AC﹣BD=4，
又∵BD=6，
∴AC=10cm．
故答案为：10．
点评： 此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握平行四边形的对边相等的性质，难度一般．
13．如图，▱ABCD中，∠B=118°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F= 62° ．
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 由▱ABCD中，∠B=118°，根据平行四边形的性质，可求得∠ADC的度数，又由三角形内角和定理，即可求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=118°，
∴∠ADC=∠B=118°，
∴∠EDF=∠ADC=118°，
∴∠E+∠F=180°﹣∠EDF=62°．
故答案为：62°．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，在▱ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，∠BCD的平分线交AD于M，则AM= 1cm ．
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 由平行四边形的性质及角平分线可得∠DCM=∠DMC，即DM=DC，即可求解．
解答： 解：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，DC=AB，
∴∠DMC=∠BCM，
又CM平分∠BCD，
∴∠BCM=∠DCE，
∴∠DCE=∠DEC，即DM=DC=AB=2cm，
∴AM=AD﹣BD=BC﹣CD=1cm
故答案是：1cm
点评： 本题主要考查平行四边形的性质及叫平分线的性质，能够判定一个三角形是等腰三角形．
三．解答题（共10小题）
15．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
∵BE∥DF（已知），
∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=∠CFD（等量代换），
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．
点评： 本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．
16．如图，▱ABCD中，E、F分别为边AB、DC上的点，且DF=BE，连接EF交AC于点M．
求证：EF与AC互相平分．
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 连接AF、CE．通过证明四边形AFCE是平行四边形推知EF与AC互相平分．
解答： 证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，且AB∥CD．
∵DF=BE，
∴CD﹣DF=AB﹣BE，即CF=AE．
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴EF与AC互相平分．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分．
17．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于F点，连接AC、DF，请判断四边形ACFD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 四边形ACFD为平行四边形，原因是由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AD与BF平行，根据两直线平行内错角相等得∠DAF与∠AFB相等，然后再根据对顶角相等，利用“ASA”证明△AED与△CEF全等，得到AE与FE相等，从而得到四边形ACFD对角线互相平分，故ACFD为平行四边形．
解答： 解：四边形ACFD为平行四边形，
证明：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF=∠AFB，
又点E是CD的中点，∴DE=CE，且∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△CEF，
∴AE=FE，
∴四边形ACFD为平行四边形．
点评： 此题考查了平行四边形的性质与判定．平行四边形的判别方法有：两组对边平行的四边形为平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；两组对边相等的四边形为平行四边形；两组对角相等的四边形为平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形．
18．已知如图，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由．
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： 要说明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后说明这个四边形是平行四边形即可．
解答： 解：线段AC与EF互相平分．理由是：
连接CE，AF．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD，即AE∥CF，AB=CD
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC与EF互相平分．
点评： 本题主要考查平行四边形的判定问题，应熟练掌握．
19．如图所示，已知▱ABCD中，AC的平行线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交AB，BC于P，Q，求证：QM=NP．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 由已知平行四边形ABCD和MN∥AC推出MQ∥AC，AM∥QC，PN∥AC，AP∥CN，从而得出图中平行四边形；利用平行四边形的性质得到MQ=AC，PN=AC，从而得QM=NP．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴MD∥BC，AB∥ND，
∵MN∥AC，
∴MQ∥AC，AM∥QC，PN∥AC，AP∥CN，
∴四边形AMQC、四边形APNC都是平行四边形，
∴MQ=AC，PN=AC，
∴QM=NP．
点评： 此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，关键是根据已知得出四边形对边平行判定平行四边形，再由两个平行四边形得出MP=QN．
20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，E为AD的中点，过A点作AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接BF，若BF∥AD，求证：BD=CD．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
解答： 证明∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=DC，
------【以上为无格式内容概要，如需完整内容请下载】------
