第18章 平行四边形单元测试
一、选择
1．(2013年四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．(2013年四川巴中)如图菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( )
A．24 B．16 C．4 D．2
3．(2013年海南)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
4．(2013年内蒙古赤峰)如图,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与
S四边形ECDF的大小关系是( )
A．S四边形ABDC＝S四边形ECDF B．S四边形ABDC < S四边形ECDF
C．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1 D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2
5．(2013年四川凉山州)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
6．(2013年四川南充)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )
A．12 B. 24 C. 12 D. 16
7．（2010 柳州 ）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.（2010中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正
方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；
以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。
二、填空
1．(2013年湖南邵阳)如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件____________，使四边形ABCD为矩形．
2．(2013年内蒙古呼和浩特)如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________．
3．(2013年福建莆田)如图4345，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．
4、(2012年杭州一模)如图，在平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C的度数比∠ABD的度数大60°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数为 ；
5、如图3,矩形ABCD中，AB=6，BC=8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是___________________.
6、（2013• 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
7、（2013• 枣庄）如图，在边长为2的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则 的长为
8、（2013•河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_________.
9、（2013•绵阳）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 。
三、解答
1、（2012年浙江绍兴八校自测模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是三角形三边中点，试判断四边形ADEF的形状并加以说明．
2、在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
3．(2013年辽宁铁岭)如图4342，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
4、（2012河南9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形.
5．(2013年山东青岛)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．
6、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
参考答案
一、选择
1、B 2、C 3、B 4、A 5、C 6、D 7、A 8、625
二、填空
1、∠B=900 2、12 3、5 4、100 5、18.75 6、1.2.4 7、 8、3或1.5
9、14
三、解答
1、答案：四边形ADEF是菱形. 证明如下：
∵ D、E、F分别是三角形三边的中点
∴ DE∥AC，EF∥AB
∴ 四边形ADEF是平行四边形
∵ AB＝AC
∴ DE＝EF
∴ 四边形ADEF是菱形
2、证明：由平移变换的性质，得
CF＝AD＝10 cm，DF＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC2＝AB2＋CB2，即AC＝10 cm.
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm.
∴四边形ACFD是菱形．
3、(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.
∴四边形AEBD是矩形．
(2)解：当△ABC是等腰直角三角形时，
矩形AEBD是正方形．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBA＝45°.∴BD＝AD.
由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴四边形AEBD是正方形．
4、证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AB=CD ……………………………………………(1分)
∴
又∵∠AEB∠CFD
∴△ABE≌△CDF ……………………………………………(3分)
∴BE=DF ……………………………………………(4分)
又∵四边形ABCD是矩形
∴OA =OC，OB =OD
∴OB－BE=OD –DF ∴OE =OF ………………………(5分)
∴四边形AECF是平行四边形 …………………………………(6分)
答案：
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4
显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。
所以x=2或x=6
(2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴当点P与B重合时，
即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形
又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
答案：四边形ADEF是菱形. 证明如下：
∵ D、E、F分别是三角形三边的中点
∴ DE∥AC，EF∥AB
∴ 四边形ADEF是平行四边形
∵ AB＝AC
∴ DE＝EF
∴ 四边形ADEF是菱形
5、(1)证明：在矩形ABCD中，
AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，
又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.
∴△ABM≌△DCM(SAS)．
(2)解：四边形MENF是菱形．证明如下：
E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE＝MF.
∴四边形MENF是平行四边形．
由(1)，得BM＝CM，∴ME＝MF.
∴四边形MENF是菱形．
(3)2∶1 解析：当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，∴AD＝2AM.
∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB.
∵∠A＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°.
同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.
∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．
6、（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
（2）解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，
则与（1）的情况完全相同．
