八年级下册数学全册教案
平行四边形及其性质（一）
一、教学目标
1、理解并掌握平行四边形的定义
2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2
3、理解两条平行线的距离的概念
4、培养学生综合运用知识的能力
二、重点难点和关键
重点：平行四边形的概念和性质1和性质2
难点：平行四边形的性质1和性质2的应用
三、教学过程
复习
1、什么是四边形？四边形的一组对边有怎样的位置关系？
2、一般四边形有哪些性质？
3、平行线的判定和性质有哪些？
新课讲解
1、引入
在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如推拉门、汽车防护链、书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？
2、平行四边形的定义：
（1）定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）几何语言表述 ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
（3）定义的双重性 具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形”，反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。
（4）平行四边形的表示：用符号 表示，如 ABCD
3、平行四边形的性质
（1）共性：具有一般四边形的性质
（2）特性：（板书）
角 平行四边形的对角相等
边 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
4、两条平行线的距离（定义略）
注意：
（1）两相交直线无距离可言
（2）与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系
5、例题讲解 教材P132 例1
已知：如图A'B'∥BA，B'C'∥CB，C'A'∥AC.
求证：（1）∠ABC=∠B'，∠CAB=∠A'，∠BCA=∠C'．
（2）△ABC的顶点分别是△B'C'A'各边的中点．
说明：（1）引导学生利用平行四边形的性质
（2）师生通过讨论共同写出解题过程
6、巩固练习：
（1）在平行四边形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度数。
（2）在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+240，求∠A的邻角的度数。
（3）平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求四边形的各边的长。
（4）在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度数。
（5）如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE
（6）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证AF=CE
小结
1、平行四边形的概念。
2、平行四边形的性质定理及其应用。
3、两条平行线的距离。
4、学法指导：在条件中有“平行四边形”你应该想到什么？
作业：教材P141 2（1）、（2） 3、4。
平行四边形及其性质（二）
教学目的：
1、知道平行四边形、两条平行线间的距离的概念；会说出并熟记平行四边形对角相等，对边相等的性质。
2、会度量两条平行线间的距离；会利用平行四边形对边相等，对角相等的性质进行有关的论证和计算。
3、在由点到直线的距离来定义两条平行线间的距离的过程中，让学生感受知识之间的联系和发展，培养灵活应用所学知识解决问题的能力
4、渗透从具体到抽象、化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辩证唯物主义观点
5、培养观察、分析、归纳、概括能力．
教学重点：两条平行线间的距离的概念平行四边形的进行有关的论证和计算。
教学难点：探索、寻求解题思路．
教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法
教学过程：
1复习：四边形的内角和、外角和定理？
平行四边形的性质定理的内容
2.讲解
练一练：课本例1后练习第1、2题。
说明和建议：要求学生在解答时先画出图形，写出应用平行四边形性质定理求解的过程
猜一猜：如图4．3－3，∥，线段AB∥CD∥EF，且点A、C、E在上，B、D、F在上，则AB、CD、EF的大小相等吗？为什么？还能画出与AB等长的线段吗？试一试可以画出几条？
说明和建议：学生不难猜得结论并加以证明，让学生经历合情推理到逻辑推理的思维过程。学生通过画图可以进一步感知：夹在两条平行线间的平行线段相等。
问题：如图4.3－3中，线段AB、CD、EF都与直线垂直，那么又可以得到什么结论？ 说明与建议：学生由AB∥CD∥EF，得到AB=CD=EF。教师接着可指出：这说明夹在平行线间的垂线段相等。然后，引导学生理解两平行线间的距离的意义，即一条直线上的任一点到另一条直线的距离。
量一量：在图4.3－4中，AB∥CD，量出AB与CD之间的距离。
建议：要求学生先画出表示AN、CD间距离的线段，再量出它的长度。
例题解析
例：(即课本例1)说明：（1）因为图中的平行线段多，因此可引导学生用“化繁为简”的方法，从图4.3－5（l）中分解出图（2）、（3）、（4）。（2）在例中的第2小题，还可以用平行四边形性质定理2的推论来证明，证明如下：
∵A′B′∥BA，BA′∥AC，
∴BA′=AC′（夹在两条平行线间的平行线段相等）。
∵BC∥B′C′，AC∥BC′，
∴AC=BC′（夹在两条平行线间的平行线段相等）。
∴B′A=BC′．∴点B是A′C′的中点。
同理可证C′A=B′A，B′C=A′C。
∴点A、C分别是B′C′和A′B′的中点。
课堂小结：（师生合作总结）
目前，关于平行四边形的知识中，由平行四边形，我们可以得到哪些隐含的条件？（关于边和角的关系）
（跟踪练习）
1、在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD。（ ）
2、平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。（ ）
3、平行四边形的两组对边分别 。
（创新练习）
平行四边形的对角线和它的边，可以组成（ ）对全等三角形。
（A）2 （B）3 （C）4 （D）6
（达标练习）
1、已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24mm,BD=38mm,AD=28mm,求三角形OBC的周长。
2、如图，平行四边形ABCD中，AC交BD于O，AE⊥BD于E，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC的周长。
3、已知：如图，平行四边形ABCD的一边AB=25cm,对角线AC、BD相交于点O，三角形AOB的周长比三角形BOC的周长少10cm,求平行四边形ABCD的周长。
（综合应用练习）
1、平行四边形的一条对角线与边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角的度数之比为（ ）
（A）1∶5 （B）1∶4 （C）1∶3 （D）1∶2
平行四边形的性质及判定（复习课）
教学目的：
1、深入了解平行四边形的不稳定性；
2、理解两条平行线间的距离定义（区别于两点间的距离、点到直线的距离）
3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3和四个平行四边形判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算；
4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验“特殊--一般--特殊”的辨证唯物主义观点。
教学重点：平行四边形的性质和判定。
教学难点：性质、判定定理的运用。
教学程序：
一、复习创情导入
平行四边形的性质：
边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。
角：对角相等（定理1）；邻角互补。
平行四边形的判定：
边：两组 对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1）
二、授新
1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四边形有哪些方法：
2、自学质疑：自学课本P79-82页，并提出疑难问题。
3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳：根据预习和讨论的效果，进行点拨指导。
5、尝试练习：完成习题，解答疑难。
6、深化创新：平行四边形的性质：
边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。
角：对角相等（定理1）；邻角互补。
平行四边形的判定：
边：两组 对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1）
7、推荐作业
1、熟记“归纳整理的内容”；
2、完成《练习卷》；
3、预习：（1）矩形的定义？
（2）矩形的性质定理1、2及其推论的内容是什么？
（3）怎样证明？
（4）例1的解答过程中，运用哪些性质？
思考题
1、平行四边形的性质定理3的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已 知求证；
2、如何证明性质定理3的逆命题？
3、有几种方法可以证明？
4、例2的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？
5、例3的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？
跟踪练习
1、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。（ ）
2、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若OC= 且 ,则四边形ABCD是平行四边形。
3、下列条件中，能够判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
（A）一组对角相等； （B）对角线相等；
（C）两条邻边相等； （D）对角线互相平分。
创新练习
已知，如图，平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点，经过O点的直线交BC和AD于E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形。（用两种方法）
达标练习
1、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。
2、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN 。
综合应用练习
1、下列条件中，能做出平行四边形的是（ ）
（A）两边分别是4和5，一对角线为10；
（B）一边为4，两条对角线分别为2和5；
（C）一角为600，过此角的对角线为3，一边为4；
（D）两条对角线分别为3和5，他们所夹的锐角为450。
推荐作业
1、熟记“判定定理3”；
2、完成《练习卷》；
3、预习：
（1）“平行四边形的判定定理4”的内容 是什么？
（2）怎样证明？还有没有其它证明方法？
（3）例4、例5还有哪些证明方法？
平行四边形的判定（二）
一、教学目的和要求
使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。
二、教学重点和难点
重点：掌握平行四边形的判定定理；
难点：灵活恰当地运用判定定理。
三、教学过程
（一）复习、引入
提问：
1. 平行四边形有什么性质?
2. 我们学习了哪些平行四边形的判定定理？
我们学习了利用“边”的条件来判定一个四边形是平行四边形，它是平行四边形边的性质定理的逆定理。那么平行四边形的对角及对角线的性质定理的逆命题是否成立呢？
（二）新课
平行四边形的判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
已知：如图1，四边形ABCD中。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
图1
分析：四边形的内角和是，又知道对角相等，容易由同旁内角互补来证明两组对边分别平行。
证明由学生完成。
平行四边形的判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于Ｏ点，且，。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
图2
分析、证明都可由学生讨论完成，最后指出用一组对边平行且相等来判定最为方便。
例1 已知：如图3，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形。
图3
分析：已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于E、F在对角线上，显然用对角线互相平分来判定。
证明：连结BD交AC于O。
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
这道题，还可以利用用对边相等或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便。
例2 已知：如图4，
求证：四边形ABCD是平行四边形。
图4
分析：1. 由于，所以AD//BC，只要再证AD＝BC即可。
2. 由于DE平行且等于BF，可证DB与EF互相平分，但要使DB与AC互相平分，还需证AE＝CF。
经过比较两种证法，第一种较简便。
证明：
（三）巩固练习
1. 如图5，四边形AECF是平行四边形，。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：已经使四边形ABCD有一组对角相等了，所以应该再考虑的第二个条件是证明另一组对角相等。
图5
证明：
由于D、B点分别是原平行四边形AECF对边AE、CF延长线上的点，所以可得CD//AB，只要再证AD//BC即可。
2. 如图6，平行四边形ABCD中，BE＝DF，AG＝CH。
求证：四边形GEHF是平行四边形。
此题与例1有相似之处，可以用两种判定方法来判定平行四边形都较简便。
图6
证法（一）：
连结EF交AC于Ｏ点。
证法（二）：
（四）小结
我们学习了平行四边形的定义，性质、判定、画法。平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。
希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解，比较一下使用哪种判定方法最简便。往往是已知条件最集中的地方，就是解决问题的突破口。
（五）作业
1. 已知：AC是平行四边形ABCD的对角线，于N。求证：四边形BMND是平行四边形。
2. 如图7，BD、CE互相平分于M，A、B、C在同一直线上，且AB＝BC。求证：AE//BD。
图7
3. 已知：如图8，平行四边形ABCD中，。
求证：MN//EF。
图8
4. 已知：如图9，AB//DC，，AE＝CF，BE＝DF。求证：EF与AC互相平分。
图9
矩形的性质（一）
教学目标
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3、渗透运动联系、从量变到质变的观点．
教学重点和难点
重点是矩形的性质；难点是性质的灵活运用．
教学过程设计
一、用运动方式探索矩形的概念及性质
1、复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质．
2、复习平行四边形和四边形的关系．
3、用教具演示如图4-29中，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．
分析：
（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形．
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．
（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）．
②角：四个角是直角（性质定理 1）．
③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）．
4、证明矩形的两条性质定理及推论．
引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质定理及推论．指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质．
二、应用举例
例1已知：如图 4-30，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比 AD边长4 cm．求 AD的长及A到BD的距离AE的长．
分析：
（1）矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，在此可以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，
边：
角：两锐角互余.
边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（2）利用方程的思想，解决直角三角形中的计算。设AD=xcm, 则对角线长（x+4）cm, 由题意，x2+82=(x+4)2.解得x=6.
（3）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例 2如图 4－31（a），在矩形 ABCD中，两条对角线交于点 O,∠AOD＝ 120°， AB＝ 4．求：
（1）矩形对角线长；（2）BC边的长;（3）若过O垂直于BD的直线交AD于E，交BC于F（图4-31（b））．求证： EF＝BF， OF=CF；（4）如图4-31（c），若将矩形沿直线MN折叠，使顶点 B与D重合，M，N交AD于M，交BC于N．求折痕MN长．
分析：
（1）矩形ABCD的两条对角线AC，BD把矩形分成四个等腰三角形，即△AOB，△BOC，△COD和△DOA．让学生证明后熟记这个结论，以便在复杂图形中尽快找到解题的思路．
（2）由已知∠AOD＝ 120°及矩形的性质分解出基本图形“含30°角的直角三角形”，经过计算可解决（2），（3）题．
（3）第（4）题是用“折叠”方式叙述已知，利用轴对称的知识可以得到：折痕MN应为对角线BD的垂直平分钱，即为第（3）题中的EF.根据第（3）题结论：MN＝BC＝2NC=
例3已知：如图4-32（a），E是矩形ABCD边CB延长线上一点， CE＝ CA， F为AE中点．求证：BF⊥FD．
证法一如图4－32（a），由已知“CE=CA，F为AE中点”，联想到“等腰三角形三合一”的性质.
连结FC，证明∠1+∠2=90，问题转化为证明∠1=∠+3，这可通过△AFD≌△BFC（SAS）来实现.
证法二 如图4-32（b），由求证“BF⊥FD”联想“等腰三角形三线合一”，构造以DF为底边上高的等腰三角形，分别延长BF，DA交于G，连结BD，转化为证明△BDG为等腰三角形以及F为GB中点，这可通过△AGF≌△EBF（ASA）及GD=EC=AC=BD来实现。
三、师生共同小结
矩形与平行四边形的关系，如图4-33.指出由平行四边形得到矩形，只需要增加一个条件：一个角是直角.
矩形的概念及性质。
矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明。
四、作业：课本第149页2，4题，第160页第2，5题。
补充题：
1、如图4-34，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,求：∠BDE的度数.(答：18°)
2、如图4-35，折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG。AB=2，BC=1。求：AG的长。（答5-12）。
矩形的性质（二）
教学目的：
1、理解并掌握矩形的定义；掌握矩形的性质定理1、2及推论；3、会用这些定理进行有关的论证和计算；
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：矩形的性质定理1、2及推论。
教学难点：定理的证明方法及运用。
教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法。
教学用具：小黑板、投影仪、圆规、三角板、矩形木架一个。
一、复习创情导入
1、复习：
（1）平行四边形的对角相等；
（2）平行四边形的对角线互相平分；
？矩形的角有什么特点呢？
？矩形的对角线有什么特点呢？
二、授新
1、提出问题
（1）矩形的定义？
（2）矩形的性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明
（3）矩形的性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明
（4）矩形的性质定理的推论的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？
（5）例1的解答过程中，运用哪些性质？
2、自学质疑：自学课本P83-85页，完成预习题，并提出疑难问题。
3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳：
(1)矩形的定义：它具备两个性质（ ）
(2)矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角。
已知：在矩形ABCD中，∠A=900，
求证：∠B=∠C=∠D=900。（邻角互补）
(3)矩形的性质定理2：矩形的对角线相等。
已知：矩形ABCD，对角线AC、BD，
求证AC=BD。（证明三角形全等）
(4)推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：直角三角形ABC中，∠B=900，OA=OC，求证：OB=AC。
5、尝试练习：
(1) 跟踪练习1----4。
(2)运用所学解决实际问题：
例1：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=1200，AB=4cm，求矩形对角线的长。
解：四边形ABCD是矩形，
所以 AC=BD（矩形的对角线相等）
又因为OA=OC=1/2BD，
所以OA=OD。
所以∠AOD=1200，
所以∠ODA=∠OAD=1/2（1800-1200）=300。
又因为∠DAB=900（矩形的四个角都是直角）
所以BD=2AB=2×4cm=8cm.
（3）跟踪练习5。
（4）达标练习1-----4。
6、深化创新：
通过今天的学习：
（1）矩形的判定有什么依据？
（定义：有一个角是直角的平行四边形）（两个条件）
（2）矩形有哪些性质？（矩形是平行四边形（定义））
定理1：矩形的四个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
7、推荐作业：
（1）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；
（2）如何证明？
（3）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；
（4）如何证明？
（5）例2的解答中，运用了哪些性质及判定？
预习思考题：
（1）矩形的定义？
（2）矩形的性质定理1的内容是什么？ 写出已知、求证，怎样证明？
（3）矩形的性质定理2的内容是什么？ 写出已知、求证，怎样证明？
（4）矩形的性质定理的推论的内容是什么？ 写出已知、求证，怎样证明？
（5）例1的解答过程中，运用哪些性质或判定？
跟踪练习题：
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 。
（2）有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
（3）矩形的对角线互相平分。（ ）
（4）矩形的对角线
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