人教版初中数学八年级上册
第十四章《整式的乘法与因式分解》
第三节《因式分解》第1课时 教学设计
一、教学目标
1.学习分解因式的定义；
2.掌握提公因式法分解因式；
3.探索利用公式法分解因式；
4.学会运用知识的迁移和转化。
二、教学重点
掌握提公因式法、利用公式法分解因式。
三、教学难点
利用公式法分解因式的应用。
四、教学用具
教师：课件
学生：练习本
五、课时：
第一课时
六、教学过程：
1.导入新课
问题导入：你知道12能被哪几个整数整除？
12=2×2×3
我们把这种运算叫做分解质因数。
同理，代数式3x2+6xy能被哪几个整式整除呢？今天就让我们一起来探究。
2.新授课
同学们知道哥德巴赫猜想，听过陈景润吗？这些都和数论有关，有人称数论为数学界的皇冠，今天的学习，就是这一方面的内容，同学们有兴趣学吗？
3.教学流程
回顾复习
前面几节我们学习了整式的乘法运算，主要是单项式和多项式的乘法和多项式和多项式的乘法运算。并且还学到了三个十分有用的公式：完全平方公式和平方差公式。
学生描述回答，同学评论补充。
探究活动一
自读教材，理解什么是因式分解，什么是分解因式。
例题计算：3x(x+2y)
3x(x+2y)=3x2+6xy
反过来说， 3x2+6xy能被哪几个整式整除呢？
3x2+6xy =3x(x+2y)
上面我们把一个多项式3x2+6xy化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式分解因式，也叫做把这个多项式因式分解。
提示：整式乘法与因式分解的关系
探究活动二
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。
归纳学生方法
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc
分解因式ma+mb+mc= m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做公因式。
在刚才的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
提示：分解因式最先要考虑的就是看是否有公因式。
指导：如何准确地找到多项式的公因式呢？
1）、系数
所有项的系数的最大公因数
2)、字母
应提取每一项都有的字母，且字母的指数取最低的
3)、系数与字母相乘
巩固练习
课件演示，加强理解
巡视指导，提示：不要一开始就展开运算合并，有些部分可以看做一个整体。
探究活动三
计算下列各题
1.92-1 2.992-1 3.9992-1
第一个很好计算是吧，第二个第三个就不那么容易了，试试用这个方法。
1. 92-1=92-12=（9+1）（9-1）=10×8=80
2. 992-1=992-12= （99+1）（99-1）=100×98=9800
3. ……
你能发现其中的技巧吗？
结论：利用平方差公式分解因式。
巩固练习 分解因式
① a2 – 9 = __________________
② 49 – n2 = __________________
③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________
典型例题讲解
– 4x2 + y2
= y2 – 4x2
= (y+2x)(y–2x)
= – ( 4x2 – y2 )
= – (2x+y)(2x–y)
x4 – 1
= (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2–1)
讲解，此时第二个因式还可以再分解，
原式=(x2+1)（x+1）(x-1)
探究活动四
观察完全平方公式，因式分解下面各题
得出结论：利用完全平方公式分解因式
巩固练习 因式分解
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________
归纳：利用平方差，或者完全平方公式来进行因式分解的方法我们称之为公式法分解因式。
综合练习
4.小结
本节课我们学习了
1）.分解因式的定义
2）分解因式的两种方法
提公因式法
公式法 利用平方差和利用完全平方公式
5.作业与拓展
6.板书
分解因式
提公因式法
公因式
公式法
利用平方差，利用完全平方公式
第十四章《整式的乘法与因式分解》
第三节《因式分解》第2课时 教学设计
一、教学目标
1.掌握利用“十字相乘法”分解因式；
2.熟练分解因式的方法；
3.探索分解因式的技巧；
4.学会运用知识的迁移和转化。
二、教学重点
1.掌握利用“十字相乘法”分解因式；
2.熟练分解因式的方法；
三、教学难点
分解因式的技巧。
四、教学用具
教师：课件
学生：练习本
五、课时：
第二课时
六、教学过程：
1.导入新课
问题导入：上节课我们学习了分解因式的定义和分解因式的一些方法。我们发现有些代数式是不能用提公因式法和公式法进行因式分解的，例如：分解因式x2+4x+3，那么这些问题又该如何解决呢？今天就让我们一起来探究。
2.新授课
因式分解中只有少量的题目是直观能看出来或者用公式法就可以解决的，但是大部分比较隐蔽，怎样办它们的关系找出来呢？
3.教学流程
回顾复习
上节课我们学习了
1）.分解因式的定义？ 请学生回答
2）分解因式的两种方法
提公因式法？ 请学生回答
公式法
公式法包括利用平方差？和利用完全平方公式？ 请学生回答
探究活动一
试计算(x+1)(x+3)
得出结果
原式=x2+3x+x+3=x2+4x+3
讲析，如何进行“十字相乘”
例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)
再如：例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5)
有没有发现规律呢？
练习
例3. 分解因式6 x2 + 7 x + 2
6 x2 + 7 x + 2=（2x+1）(3x+2)
例4. 分解因式3 x2 + 11 x + 10
3 x2 + 11 x + 10= (x+2)(3x+5)
课件演示，加强理解
结论
可以利用“十字相乘法”来分解因式；
提示：“十字相乘法”可用来分解二次三项式；但在选择二次项和常数项拆分时需要多尝试，才能找出因数准确的系数。
巩固练习
课件演示
小组说一说解法。
探究活动二
因式分解 ab–ac+bd–cd 。
提示：可以先分组结合。
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
讲析：这种方法叫做分组分解法，先结合分解，再提公因式，有一定难度。
巩固练习
课件演示提示
1）xy–xz–y2+2yz–z2
2）a2–b2–c2–2bc–2a+1
3）x4 + 4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 这里用了拆项添项法，先加上4x2，再减去4x2，原式的值不变。
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
讲解：配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
拓展提高
试因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
课件讲解这种方法叫做待定系数法。
4.小结
本节课我们学习了
1.用“十字相乘法”分解因式
2.分解因式的其他特殊方法
3.因式分解需要根据具体题型选择合适恰当的方法。这需要同学们多观察、多发现、多实践。
5.作业与拓展
5.板书
十字相乘法
(x+1)(x+3)
系数 1 1
1 3
第一项 1×1 第三项 1×3
第二项 1×3+1×1
其他方法
分组分解法 先分组，再分解 ，再提公因式
拆项补项法 先添加，再减去 或先减去， 再加上
配方法 分组再拆项补项
