《21.1一元二次方程》教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容
一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．
（二）内容解析
一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．
针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念；
2．了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式；
3.了解一元二次方程根的概念.
（二）目标解析
1．通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性；
2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件；
3. 会判断一个数是否是一元二次方程的根.
三、教学问题诊断分析
一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念．
培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力， 让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的．
本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫．
本课的教学难点是一元二次方程的概念．
四、教学过程设计
（一）单元导入，明确目标
教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：
问题：什么是方程？
教师追问1：我们学过哪几类方程？
教师追问2：章前问题中的这个方程属于我们学过的某一类方程吗？
师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念， 通过新方程引入课题，知识树展示整个单元的知识以及本节课的内容.
师生活动:出示学习目标：了解一元二次方程的概念；；理解一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化成一般形式，正确认识二次项等相关概念；了解一元二次方程根的概念.
【设计意图】让学生形象、直观地了解整章内容以及本机课在整章中的地位和作用，通过目标，明确本节课的任务.
（二）提出问题、分步探究；巩固练习、当堂检测
自主学习一
给出课本问题1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程．
问题1 如图21．1-1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？
师生活动：学生独立思考，设出未知数并列出方程，之后学生展示所列方程，并在教师引导下化简、整理，得出最简形式
问题：观察上述方程，它们与一元一次方程、二元一次方程、分式方程分别有什么不同点？
学生活动：学生回答不同点，其他同学可以加以补充纠正.
教师追问1：以上同学将一元二次方程与以往学过的三类方程的不同点说的很全面，很具体，那么，哪位同学能根据以上回答总结一下一元二次方程的主要特点？
教师追问2：那么同学们能根据以上特点给一元二次方程下个定义吗？
师生活动：学生给一元二次方程下定义，教师加以点拨，总结：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．
【设计意图】与以往学过的三类方程的类比，正好突出一元二次方程的三个主要特点，有助于对概念的归纳和理解，并同时向学生渗透类比的数学思想.
自学检测一
辨别下列各式是否为一元二次方程？
(1) 4x 2 = 81
(2) 2x 2 - 1= 3y
(3) 3x(x-1)= 5x + 2
(4) 2x 2 + 3x – 1
(5)
(6) 2x2+3x=2x2 -1
【设计意图】将各类情况给出具体的例子，加深对概念的理解和掌握.
自主学习二
师生活动：教师出示自学指导，学生自学课本.
自学指导：请同学们自学课本第3页一元二次方程的概念以下部分，勾画并记忆. (3分钟)
注意：
1.理解并记住一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数等概念；
2.思考云图中的问题“为什么规定a≠0？” ；
3.掌握例题的解题格式.
师生活动：学生提出自学过程中的疑问，师生共同解答，学生能解答的教师就不要帮忙，学生解决不了的，教师出面点拨.
问题预设1：一元二次方程的一般形式有什么特点？
问题预设2：例题中经过了怎样的化简步骤将方程转化成一般形式的？
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax 2 + bx + c = 0 （a≠0）
其中ax 2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
【设计意图】让学生自学完成，将学习的主动权交给学生，体现学生在教学过程中的主体地位，从而激发学生的求知欲望，培养学生的学习能力.
自学检测二
1.下面哪些数是方程x2-4x+4=0解？
A. 0 B. -2 C. 2 D. 4
2.课本第4页练习
1题（2）；
2题（1）、（2）.
【设计意图】回归课本，重视基础，突出重、难点.
（三）课堂小结、达标测试
课堂小结
师生活动：以提问的形式，师生共同完成本节课动态知识树.
【设计意图】通过提问，以动态知识树形象、立体地将本节课知识加以梳理，让学生对知识的掌握更加系统.
达标检测
1.下列方程，是一元二次方程的是 . （2分）
（1）x3－2x2＋5＝0 (2)x2＝1
(3)5x2－2x－2＝x2－2x＋1 (4)2(x2＋1)＝3(x＋1)
(5)x2－2x＝x2＋1 (6)ax2＋bx＋c＝0
2.下面的数是方程x2＋5x＋6＝0的根的是 . （2分）
―3，－2，－1，0，1，2，3.
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：（4分）
（1）3x2＋1＝6x (2)x(x＋5)＝0
4.根据问题列方程，并将方程化成一元二次方程的一般形式： （2分）
一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，求较长的直角边的长.
【拓展提高】
1.若关于x的方程（m＋3）x︱m＋1︱＋7x－3＝0是一元二次方程，求m的值.
2.如果2是方程x2－c＝0的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其它根.
师生活动：学生独立完成达标检测题，课件出示答案、同桌交换互批.采取十分制，根据每题所给的分数计算出得分，共性的问题，师生共同解决，个别学生的问题要安排组长课后补课.
【设计意图】题目设置紧扣课标要求和本节课目标，由易到难，层层递进，内容考察全面、注重基础，重点、难点突出考察.拓展提高环节重点考察对概念的深层理解及把握，给有余力的同学提供提升的空间.
五、板书设计
【设计意图】将学生学习的过程条例、清晰地展现，有助于学生系统回顾本节课所学，加深理解.
