24．4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝__2πR___，所以n°的圆心角所对的弧长为l＝_____．
2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S＝__πR2___，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝_____．
3．用弧长表示扇形面积为__lR___，其中l为扇形弧长，R为半径．
知识点1：弧长公式及应用
1．点A，B，C是半径为15 cm的圆上三点，∠BAC＝36°，则弧BC的长为__6π___cm.
2．扇形的半径是9 cm，弧长是3π cm，则此扇形的圆心角为__60___度．
3．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是__2___．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为( B )
A. B. C. D．π
5．如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧的长．
解：连接OB，OC.∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴劣弧的长为＝2π(cm)
知识点2：扇形的面积公式及应用
6．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是( A )
A.π B.π C.π D．π
7．(2014·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是( C )
A．6π cm2 B．8π cm2
C．12π cm2 D．24π cm2
8．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为( C )
A. B.
C. D.
,第8题图) ,第9题图)
9．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，且点A′，C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2___．(π≈3.14，结果精确到0.1)
10．如图，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
解：连接OC，可求∠AOB＝120°，OC＝2，AC＝2，∴S阴影＝S△AOB－S扇形＝2××2×2－×π×22＝4－π
11．如图，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( B )
A. cm B. cm C. cm D．7π cm
,第11题图) ,第12题图)
12．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( C )
A.π B．π－
C. D.π＋
13．(2014·南充)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( A )
A.π B．13π C．25π D．25
,第13题图) ,第14题图)
14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的长为__2π___．[来源:Z*xx*k.Com]
15．如图，已知菱形ABCD的边长为3 cm，B，C两点在扇形AEF的上，求的长度及扇形ABC的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形且边长为3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.又∵B，C两点在扇形AEF的上，∴AB＝BC＝AC＝3 cm，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，的长l＝＝π(cm)，S扇形ABC＝lR＝×π×3＝π(cm2)
16．(2014·昆明)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
解：(1)连接OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2∠1＝∠A.在Rt△ABC中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∴AC为圆O的切线 (2)当∠A＝60°时，在Rt△OCD中，有∠C＝30°，OD＝r＝2，∴∠DOC＝60°，CD＝2，S△ODC＝OD·DC＝2，S扇形＝＝π，∴S阴影＝S△ODC－S扇形＝2－π
17．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．
解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG (2)∵AB＝2，E是AB的中点，∴FB＝BE＝AB＝×2＝1，∴AF＝＝＝.由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－
第2课时 圆锥的侧面积与全面积
1．圆锥是由一个__侧___面和一个底面围成的，连接圆锥的__顶点___和底面圆上任一点的线段叫做圆锥的母线．
2．圆锥的侧面展开图是一个__扇___形，扇形的半径为圆锥的__母线___长，扇形的弧长即为圆锥底面圆的__周长___．
3．圆锥的全面积＝S侧＋S__底___．
知识点1：圆锥的侧面积
1．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为( B )
A．3 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
,第1题图) ,第2题图)
2．(2014·淮安)如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为( B )
A．3π B．3
C．6π D．6
3．圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为__60π___cm2.
4．圆锥的侧面积为6π cm2，底面圆的半径为2 cm，则这个圆锥的母线长为__3___cm.
5．圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为__180°___．
6．已知圆锥的母线AB＝6，底面半径r＝2，求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角．
解：设圆心角为n°，则有2πr＝·AB，∴4π＝×6，∴n＝120，故扇形的圆心角α＝120°
知识点2：圆锥的全面积
7．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积为( C )
A．5π B．4π[来源:学.科.网]
C．3π D．2π
8．已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12 cm，另一条直角边BC＝5 cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是( A )
A．90π cm2 B．209π cm2
C．155π cm2 D．65π cm2
9．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少？(结果保留π)
解：圆锥的母线长是＝5，圆锥的侧面积是×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，所以该几何体的全面积(即表面积)是20π＋32π＋16π＝68π
10．一个圆锥的底面半径是6 cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为( B )
A．9 cm B．12 cm
C．15 cm D．18 cm
11．(2014·襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B )
A. B．1
C. D．2
12．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5 cm，弧长是6π cm，那么这个圆锥的高是( A )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．2 cm
,第12题图) ,第13题图)
13．(2014·南京)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为__6___cm.
14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__180___°.
15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
解：侧面积为×12×12π＝72π(cm2)．设底面半径为r，则有2πr＝12π，∴r＝6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高h＝＝6(cm)
16．如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形，如图②是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)
解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，由垂径定理，知E是AB的中点，F是的中点，从而EF是弓形的高，∴AE＝AB＝2 m，EF＝2 m．设半径为R m，则OE＝(R－2) m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝(R－2)2＋(2)2，解得R＝4，∴OE＝4－2＝2(m)．在Rt△AEO中，AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴的长为＝(m)，故帆布的面积为×60＝160π(m2)
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
17．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( D )
A．5 B．10
C．15 D．20
18．如图，有一个直径是1 m的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
解：(1)连接OA，OB，OC，由SSS可证△ABO≌△ACO，∵∠BAC＝120°，∴∠BAO＝∠CAO＝60°，又OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，可知AB＝ m，点O在扇形ABC的上，∴扇形ABC的面积为π·()2＝(m2)，∴被剪掉阴影部分的面积为π·()2－＝(m2) (2)由2πr＝π·，得r＝，即圆锥底面圆的半径是 m
专题训练(八) 平面图形的运动及不规则图形面积问题
一、求动态中弧长或扇形面积
1．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是__(2π＋50)m___．(结果用π表示)
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为( C )
A.＋ B.＋1
C．π＋1 D．π＋
3．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，求点P运动的路径长．
解：点P运动的路径长为＋＋＋＋＋＝(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路线长．
解：如图，A″C1＝＝5，＝＝π，A′A″⌒＝＝2π，A″A1⌒＝＝π，则点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线长为＋A′A″⌒＋A″A1⌒＝π＋2π＋π＝6π
5．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上按顺时针方向在l上转动两次，使它转动到三角形A″B′C′的位置．若BC＝1，AC＝，当顶点A运动到点A″的位置时．
(1)求点A所经过的路线长；
(2)求点A所经过的路线与l所围成的图形的面积．
解：点A所经过的路线图略．(1)在Rt△ABC中，AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，则∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴的长为＝.又∵∠A′C′A″＝90°，∴A′A″⌒的长为＝π，∴点A所经过的路线长为π＋π
(2)S扇形BAA′＝××2＝，S扇形C′A′A″＝××＝，S△A′BC′＝×1×＝，∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π＋π＋＝π＋
二、求不规则图形面积问题
6．(用割补法)如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.
(1)求线段EC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝＝2，∴EC＝CD－DE＝4－2
(2)在Rt△DEA中，∵＝，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S阴影＝S扇形EAF－S△DAE＝－×2×2＝π－2
7．(用旋转法)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，求线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积．
解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29.∵S阴影＝S扇形CBB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形CAA1.又∵△ABC旋转得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S阴影＝S扇形CBB1－S扇形CAA1＝－＝π(cm2)[来源:学科网]
[来源:Z+xx+k.Com]
8．(用平移法)如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB＝24.求图中阴影部分的面积．
解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆(如图)，连接OB.过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12.∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影＝S大半圆－S小半圆＝π·OB2－π·OC2＝π·AC2＝72π
9．(用等积变形法)如图，已知点A，B，C，D均在已知⊙O上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15.
(1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)易证∠DBC＝30°，AB＝AD＝DC，BC＝2DC，∴BC＋BC＝15，∴BC＝6，∴此圆的半径为3 (2)连接OA，OD，过O作OE⊥AD于点E.可求∠AOD＝60°，∴S扇形AOD＝＝π.在Rt△AOE中，可求AE＝，OE＝，∴S△AOD＝×3×＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝
