第四单元：比例
教学内容：
图形的放大与缩小，比例的意义与性质。两个内容分别属于两个知识领域，前者是图形与几何的内容，后者是数与代数的内容。在一个单元里同时教学两个领域的知识，这样的教材很少遇到。本单元把图形的放大与缩小、比例的意义与性质结合起来教学，是因为这两个内容能够互相利用、互相支持。图形放大或缩小的过程中，大小变了，但形状与结构都保持不变，比例能够准确地揭示图形放大或缩小的本质特征，帮助学生建立图形放大与缩小的正确概念。比例是表示两个比相等的式子，这个相当抽象的数学概念和图形的放大或缩小联系起来，就有了具体的含义，图形的放大、缩小有助于学生形成比例的概念。
教学目标：
1．理解比例的意义和基本性质，会解比例。
2．理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。
3．认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
4．了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
5．认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。
“比例”教学中应注意的问题
1.在“比例的意义”教学中注意情感、价值观的渗透。
教师在教学中可通过学生算出各面国旗长、宽之比均为3：2，借机向学生说明：为维护国旗的尊严，我国制定了《国旗法》，其中规定“国旗长、宽之比为3：2”，所以尽管在不同的场合根据需要国旗的大小可能不同，但是它们的形状是一样的。让学生认识到国旗的庄严与神圣，从而对学生进行热爱国旗的教育。
2．比例教学中的“变与不变”。
正比例反比例的意义很抽象，它是一种数学模型，研究两个相关联的变量之间的关系。
在正比例里，一种量扩大（缩小），另一种量也随着扩大（缩小），但这两种量中相对应的两个数的比值一定。
在反比例里，一种量扩大（缩小），另一种量也反而缩小（扩大），但这两种量中相对应的两个数的乘积一定。
3、如何界定比例尺的大小？ 比例尺的大小不是指比值的大小，而是指缩放程度的大小。例如：比例尺1：1000大于1:100.
4、利用比例尺进行计算时，注意计算中的长度单位的转换训练。
比例的意义和基本性质
第一课时
教学内容：P40 比例的意义
教学目标:
知识与技能：理解比例的意义,掌握组成比例的关键条件。
过程与方法：能正确的判断两个比能否组成比例。
情感态度与价值观：通过动手、动脑、观察、计算、讨论等方式,使学生自主获取知识,全面参与教学活动。
教学重点: 解比例的意义,掌握组成比例的关键条件。
教学难点: 正确的判断两个比能否组成比例。
教法与学法: 小组合作探究，归纳方法。
教学过程:
教学过程：
一、回顾旧知，复习铺垫
1、请同学们回忆一下上学期我们学过的比的知识，谁能说说什么叫做比？并举例说明什么是比的前项、后项和比值。
教师把学生举的例子板书出来，并注明比的各部分的名称。
2、我们知道了比的前后项相除所得的商叫做比值，你们会求比值吗？教师板书出下面几组比，让学生求出它们的比值。
12:16 : 4.5:2.7 10:6
学生求出各比的比值后，再提问：哪两个比的比值相等？
（4.5:2.7的比值和10:6的比值相等。）
教师说明：因为这两个比的比值相等，所以这两个比也是相等的，我们把它们用等号连起来。（板书：4.5:2.7＝10:6）像这样表示两个比相等的式子叫做什么呢？这就是这节课我们要学习的内容。（板书课题：比例的意义）
二、引导探究，学习新知
（一）课件出示不同大小的国旗图案
1、画面上出现了四幅不同大小的国旗,请同学们任选两面国旗来算一算它们各自长与宽的比值是多少?然后观察结果,你能发现什么?(板演,观察到比值相等,教师板书:两个比相等) 2、那我们就可以将这两个比用等号连接。(教师板书生汇报的两个相等的比)
教师边指着这组相等的比一边说:好,像这样表示两个比相等的式子就叫做比例。(把定义补充完整)。这就是比例的意义(把课题板书完整)请同学们齐读。 请同学们再默读一遍比例的意义,思考:想要组成比例必须要具备哪些条件?(生回答,等式;有两个相等的比) (教师再强调:一定是比值相等的两个比才能组成比例。) 3、你还能从四面国旗中找出哪些比例?(写在练习本上,然后汇报。教师板书) 4、我们在学习比的时候,可以把比写成分数的形式,比如:60:40=60/40,那比例也能写成分数的形式吗?怎么写?(口答) 5、我们刚才一直在强调比和比例的联系,那么比就是比例吗?
从形式上区分:比由两个数组成;比例由四个数组成。 从意义上区分:比表示两个数之间的倍数关系;比例表示两个比相等的式子。
（二）比较“比”和“比例”两个概念。
教师：上学期我们学习了“比”，现在又知道了“比例”的意义，那么“比”和“比例”有什么区别呢？
引导学生从意义上、项数上进行对比，最后教师归纳：比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。
三、拓展应用
1、下面哪些组的两个比可以组成比例?如果能,在( )打对号。 10:2和35:42( ) 0.6:0.2和:( ):4和3: ( ) :和12:8 ( )
2、做P40“做一做”。
让学生看书，不抄题，直接把能组成比例的两个比写在练习本上，教师边巡视边批改，对做得不对的，让他们说说是怎样做的，看看自己做得对不对。
四、总结
通过这节课的学习，你有什么收获？
板书设计：
比例的意义
2.4 ：1.6= 60 ：40=
2.4 ：1.6=60 ：40
（或）=
作业设计：
课后反思：
比例的意义和基本性质
第二课时
教学内容：P41比例的基本性质
教学目标:
知识与技能：使学生认识比例的“项”以及“内项”和“外项”。
过程与方法：通过引导探究、概括归纳、讨论、合作学习，培养学生抽象概括能力。
情感态度与价值观：会应用比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例。
教学重点: 使学生认识比例的“项”以及“内项”和“外项”。
教学难点: 理解并掌握比例的基本性质。
教法与学法:
教学过程:
（一）复习导入
1、我们已经认识了比例，谁能说一下什么叫比例？
2、应用比例的意义判断下面的比能否组成比例。
0．5:0.25和0.2:0.4 ∶和12∶9 1∶5和0.8∶4；
7∶4和5∶3 80∶2和200∶5
（一是看两个比的比值是否相同，二是看他们化成最简比是否相同）
3、今天老师将和大家再学习一种更快捷的方法来判断两个比能否组成比例）
板书：比例的基本性质
（二）探究新知
1、教学比例各部分的名称．
同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了，那么，比例各部分的名称是什么?请同学们翻开教材第34页看看什么叫比例的项、外项和内项。
(学生看书时，教师板书：2.4：1.6=60：40)让学生指出板书中的比例的外项和内项。学生回答的同时，
板书：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：2. 4 : 1.6 = 60 : 40
外项
内项
学生认一认，说一说比例中的外项和内项。
2、教学比例的基本性质。出示例1、
(1)教师：比例有什么性质呢?现在我们就来研究。
(板书：比例的基本性质)
学生分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。
教师板书：
两个外项的积是2.4×40＝96
两个内项的积是1.6×60＝96
(2)教师：你发现了什么，
两个外项的积等于两个内项的积
是不是所有的比例都存在这样的特点呢?
学生分组计算前面判断过的比例。
(3)通过计算，我们发现所有的比例都有这个样的特点，谁能用一句话把这个特点说出来?(可多让一些学生说，说得不完整也没关系，让后说的同学在先说的同学的基础上说得更完整．)
(4)最后师生共同归纳并板书：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。教师说明这叫做比例的基本性质。
(5)如果把比例写成分数形式，比例的基本性质又是怎样的呢?
指名学生改写2.4：1.6＝60：40 ( = )
这个比例的外项是哪两个数呢?内项呢?
当比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积
怎么样?(边问边画出交叉线)
(6)强调：如果把比例写成分数的形式，比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘的积相等。以前我们是通过计算它们的比值来判断两个比是不是成比例的。学过比例的基本性质后,也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能组成比例。
（三）拓展应用
下面的四个数可以组成比例吗?把组成的比例写下来。（能写成几组就写几组) 5、8、15和24
（四）课堂总结
通过这节课，我们学到了什么知识?什么是比例?比例的基本性质是什么?应用比例的基本性质可以做什么?通过以上学习，大家一定进一步了解比例了吧？
板书设计：
比例的基本性质
例1、2. 4 : 1.6 = 60 : 40
两个外项的积是2.4×40＝96
两个内项的积是1.6×60＝96
2.4：1.6＝60：40
作业设计：
课后反思：
解比例
教学内容：解比例
教学目标:
知识与技能：使学会解比例的方法,进一步理解和掌握比例的基本性质。
过程与方法：联系的生活实际创设情境,体现解比例在生产生活中的广泛应用。
情感态度与价值观：利用所学知识解决生活中的问题,进一步培养综合运用知识的能力及情度、价值观的发展。
教学重点: 使学会解比例的方法,进一步理解和掌握比例的基本性质。
教学难点: 体现解比例在生产生活中的广泛应用。
教法与学法:
教学过程:
一、旧知铺垫
1、什么叫做比例?
2、什么叫做比例的基本性质?怎样用比例的基本性质判断两个比能否组成比例?那么组成一个比例需要几项呢? 3、比例有几种表示形式?
二、探索新知 1、出示埃菲尔铁挂图 2、出示例题 (1)、读题。 (2)、从这道题里,你们获得了哪些信息? (3)、在这信息里,关键理解哪里?(埃菲尔铁模型与埃菲尔铁塔的高度比是1:10) (4)、这句话什么意思?(就是埃菲尔铁塔模型的高度:埃菲尔铁塔的高度=1:10)(板书) (5)、还有一个条件是什么?(埃菲尔铁塔的高是320米) (6)、我们把这个条件换到我们的这个关系中,就是(板书:埃菲尔铁塔的高度:320=1:10) (7)、这道题怎么列比例式解答呢?请同学们想想,想出来的同学请举手。 (8)、根据学生的反馈板书:“解:设埃菲尔铁塔模型的高度设为x米”,把这个x代入这个数学模式中就组成了一个比例式(板书x:320=1:10) (9)、这样在组成比例的四个项中,我们知道其中的几个项?还有几个项不知道? (10)、不知道的这个项,我们来给它起个名字,好不好?叫做什么?(板书:未知项) (11)、指着x:320=1:10,问:“这个未知项是多少呢?那怎么办?”谁上来做做? (指名板演) (12)、为什么可以写成这样的等式呢?10x=320×1(根据比例的基本性质) (13)、对了,把上面的比例式改写成下面这样一个等式,就是应用了比例的基本性质。应用比例的基本性质,把比例式改写成了一个等式,这个等式还是一个什么样的等式呀?(含有未知数的等式) (14)、这样含有未知数的等式,叫做方程。那么求出方程中的未知数就叫做什么?(解方程)那么在这个比例式中,我们知道了任意三项,要求出其中一项的过程又叫做什么?(解比例)出示比例的意义。
(15)、我们解出的答案对不对呢?怎么知道?可以怎样检验? (把结果代入题目中看看对应的比的比值是不是能成比例.) (16)这道题还有其他的解法吗?(引导学生从比例的意义上来解。 2、教学例3 过渡:我们知道比例还有另一种表示形式,当是=这样形式的时候,又该怎么解呢? (1)、出示例3,问:这题与刚刚那个比例有哪些不同? (2)、解这种比例时,要注意些什么呢?(找出比例的外项、内项) (3)、在这个比例里,哪些是外项?哪些是内项? (4)、解答(提问:你们是怎么解答的?)、检验。 (5)、=
三、拓展应用
在一个比例中,两个外项的乘积正好互为倒数,已知一个内向是3,另一个内项是多少?
四、巩固练习:完成课文练习六的第7~13题。
板书设计：
作业设计：
课后反思：
2. 正比例和反比例
第一课时：正比例
教学内容：P45～46 正比例
教学目标:
知识与技能：理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断是不是成正比例。
过程与方法：经历正比例意义的构建过程，培养学生概括能力和分析判断能力。
情感态度与价值观：培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。
教学重点: 成正比例的量的特征及其判断方法。
教学难点: 理解两个变量之间的比例关系，发现思考两种相关联的量的变化规律。
教法与学法:
教学过程:
一、复习引入
1、回顾旧知，复习铺垫
（1）已知路程和时间,求速度
（2）已知总价和数量,求单价
（3）已知工作总量和工作时间,求工作效率
揭示课题：
1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化，另一种量也随着变化，你以举出一些这样的例子吗？（板书：正比例）
二、探索新知：
1．教学例1
（1） 出示例题情境图。 问：你看到了什么？
（2）出示表格。
例1、一文具店销售的数量与总价的关系如下表
数量
/支
1
2
3
4
5
6
7
8
…
总价
/元
3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
…
问：你有什么发现？
（3） 说明正比例的意义。
在这一基础上，教师明确说明正比例的意义。 板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种理就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（4） 用字母表示：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系怎样用字母表示出来？
y=k x
=k
1） 依据下表中的数据描点。（见书）
2） 从图中你发现了什么？ 这些点都在同一条直线上。
（5）看书P45，进一步理解正比例的意义。
（6）根据正比例的意义以及表示正比例的式子想一想:构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件?
（7）小结：
（1）说一说成正比例关系的量的变化特征。
（2）你能举出生活中正比例关系的例子吗？
2、教学正比例图像
（1）成正比例关系的两个量中相对应的数都看作一个数对，引导学生在格子纸上描点，然后连线。
（2）观察图 ，发现什么规律？
学生汇报自己的发现：正比例的图像是一条射线。
（3）根据图像判断，如果买9米彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
（4）小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
引导学生在格子纸上查找
三、巩固新知，拓展应用
1、举一举生活中的正比例关系的例子 。
2、完成教材第46页“做一做 ”。
四、课堂总结
什么是成正比例的量？它必须具备什么条件？怎样判断成正比例的量？
板书设计：
例1、一文具店销售的数量与总价的关系如下表
数量
/支
1
2
3
4
5
6
7
8
…
总价
/元
3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
…
作业设计：
课后反思：
2. 正比例和反比例
第二课时：反比例
教学内容：反比例
教学目标:
知识与技能：理解反比例的意义，能根据反比例的意义，正确的判断两种量是否成反比例。
过程与方法：通过引导学生讨论探究，分析合作，使学生进一步认识事物之间的联系和发展变化的规律。
情感态度与价值观：初步渗透函数思想。
教学重点: 引导学生总结出成反比例的量,是相关的两种量中相对应的两个数积一定,进而抽象概括出成反比例的关系式.
教学难点: 利用反比例的意义,正确判断两个量是否成反比例.
教法与学法:
教学过程:
一、复习铺垫
1、下面两种量是不是成正比例?为什么?
购买练习本的价钱0.80元,1本;1.60元,2本;3.20元,4本;4.80元6本.
2、成正比例的量有什么特征?
二、引导探索，学习新知
1、导入新课：这节课我们继续学习常见的数量关系中的另一种特征——成反比例的量。
2、教学例2：
（1） 出示课文例题情境图。问：从图中你看到了什么？
① 把相同体积的水倒入底面积不同的杯子。
② 杯里水的高度不相同。
③ 杯子底面积小的，水的高度比较高，杯子底面积大的，水的高度比较低。
（2）出示表格。
杯子底面积/km²
10
15
20
30
60
…
水的高度/cm
30
20
15
10
5
…
请学生认真观察表中数据的变化情况。 问：你有什么发现？ 学生不难发现：底面积越大，水的高度越低，底面积越小，水的高度越高，而且高底和底面积的乘积（水的体积）一定。 教师板书配合说明这一规律： 30×10=20×15=15×20=„„=300
（3）归纳反比例的意义。 在这一基础上，教师明确说明反比例的意义，并板书。
板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（4） 用字母表示：xy=k
三、巩固练习
1、想一想：成反比例的量应具备什么条件？
2、判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。
(1)路程一定，速度和时间。
(2)小明从家到学校，每分走的速度和所需时间。
(3)平行四边形面积一定，底和高。
(4)小林做10道数学题，已做的题和没有做的题。
(5)小明拿一些钱买铅笔，单价和购买的数量。
(6)你能举一个反比例的例子吗？
四、全课小节
这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两个量是成反比例的两个量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。
板书设计：
作业设计：
课后反思：
3.比例的应用
第一课时：比例尺
教学内容：比例尺
教学目标:
知识与技能：使学生在具体情境中理解理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。
过程与方法：会求一幅图的比例尺，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。
情感态度与价值观：培养分析、抽象、概括的能力，进一步体会数学知识之间的联系，感受学习数学的乐趣。
教学重点: 使学生在具体情境中理解理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。
教学难点: 会求一幅图的比例尺，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。
教法与学法:
教学过程:
一、情境导入：
1、谈话：同学们，我国历史悠久，地域辽阔，国土面积大约有960万平方千米。但这么辽阔的地域却可以用一张并不很大的纸画下来。 出示大小不一的中国地图，并提问：想知道这些地图是怎样绘制出来的吗？今天我们就学习这方面的知识——比例尺。板书课题：比例尺
二、自主探究，理解比例尺的意义。
1、出示例1、在学生理解题意后提问：题目要求我们写出几个比？这两个比分别是哪两个数量的比？什么是图上距离？什么是实际距离？
2、探索写图上距离和实际距离的比的方法。
提问：图上距离和实际距离单位不同，怎样写出它们的比？
引导学生通过交流，明确方法：先要把图上距离和实际距离统一成相同的单位，写出比后再化简。
学生独立完成后，展示、交流写出的比，强调要把写出的比化简。
3、揭示比例尺的意义以及求比例尺的方法。
谈话：像刚才写出的两个比，都是图上距离和实际距离的比。我们把图书距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
提问：这张长方形草坪平面图的比例尺是多少？
图上距离 ：实际距离=比例尺
120km=12000000cm
24 ：12000000=1 ：5000000
三、拓展应用：
教材56页1、2题
四、总结：
这节课你学会了什么？你有哪些收获和体会？计算一幅图的比例尺时要注意什么？
板书设计：
比例尺的意义
例1、图上距离 ：实际距离=比例尺
120km=12000000cm
24 ：12000000=1 ：5000000
答：（略）
作业设计：
课后反思：
第二课时：比例尺的应用
教学内容：比例尺的应用
教学目标:
知识与技能：使学生理解比例尺的含义。
过程与方法：会应用比例的知识求平面图的比例尺。
情感态度与价值观：根据比例尺求图上距离或实际距离。
教学重点: 会应用比例的知识求平面图的比例尺。
教学难点: 根据比例尺求图上距离或实际距离。
教法与学法:
教学过程:
一、创设情境，提出问题：
教师：前面我们学习了比例的知识，比例的知识在实际生活中有什么用途呢？请同学们看一看我们教室有多大，它的长和宽大约是多少米。
如果我们要绘制教室的平面图，若是按实际尺寸来绘制，需要多大的图纸？可能吗？如果要画中国地图呢？于是，人们就想出了一个聪明的办法：在绘制地图和其他平面图的时候，把实际距离按一定的比例缩小，再画在图纸上，有时也把一些尺寸比例小的物体（如机器零件等）的实际距离扩大一定的倍数，再画在图纸上。不管是哪种
情况，都需要确定图上距离和实际距离的比。这就是比例的知识在实际生活中的一种应用。
今天我们就来学习这方面的知识。
二、探究交流，解决问题：
1、教学根据比例尺求图上距离或实际距离。
教师：知道了一幅图的比例尺，我们可以根据图上距离求出实际距离，或者根据实际距离求出图上距离。
（1）教学例题2
（课件出示图）右面是北京轨道交通示意图，地铁1号线从苹果园站至四惠东站在图中的长度大约是7.8cm，从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是多少千米？
解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度是xkm。
=
=7.8×400000
=3120000
3120000cm=31.2km
答：（略）
（2）出示例3 （指名板演）
200m=20000cm 400m=40000cm
250m=25000cm
20000×=2（cm）
(40000-20000)×=2（cm）
25000×=2.5（cm）
三、拓展应用：
一个长方形操场，长110米，宽90米，把它画在比例尺是的图纸上，长和宽各应画多少厘米？
四、总结：
这节课即将结束，你有哪些收获呢？
板书设计：
比例尺的应用
例2、解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度是xkm。
7.81= x400000
x=7.8×400000
x=3120000
3120000cm=31.2km
答：（略）
例3 200m=20000cm 400m=40000cm
250m=25000cm
20000×=2（cm）
(40000-20000)×=2（cm）
25000×=2.5（cm）
作业设计：
课后反思：
图形的放大与缩小
教学内容：教材第59、60页内容，练习十一第1、2题。
教学目标:
知识与技能：了解图形的放大与缩小的意义；能在方格纸上按一定的比画出放大与缩小的图形；通过图形的放大与缩小体会图形的相似。
过程与方法：通过观察、理解、动手操作等
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