13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．在射线、角和等腰三角形中，它们（ ）轴对称图形
A．都是 B．只有一个是
C．只有一个不是 D．都不是
3．如下图：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（ ）个等腰三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．非等腰三角形
D．等边三角形
5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（ ）
A．70° B．20°或70°
C．40°或70° D．40°或20°
二、填空题（每题6分，共30分）
1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________ 。
2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________
3．如下图：△ABC 中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE= ______________。
4．等腰三角形中有两个角的比为1：10，则顶角的度数是__________________。
5．如下图：等边△ABC，D是形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
如左图：直线MN及点A，B。
在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
1．已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。
求证：HB=HC。
2．已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
3．已知：如图：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。
求：∠C的度数。
选作题：
已知：如图：△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC。
求证：AD⊥BC。
[来源:学*科*网]
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参考答案
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．C2．A3．C4．D5．B
二、填空题（每题6分，共30分）
1．50°或80°
2．6
3．10，15°
4．150°或
5．30
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等边对等角）
∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中两个锐角互余）
同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，
∴HB=HC（同一△中等角对等边）
2．证明：∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°
在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠2=∠1
∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°
∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°
∵BM⊥AD，∴（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）
3．解：延长DB到E，使BE=AB，连结AE，则∠1=∠E。
∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E
∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC
∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120°
∴2∠C+∠C=180°-120°=60°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠C=20°
答：∠Ｃ的度数是20°
选作题
证明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N
∵∠1=∠2，∴PM=PN
在Rt△BPM和Rt△CPN中[来源:学科网ZXXK]
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴∠ABP=∠ACP
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。
∴AB=AC，∵∠1=∠2
∴AD⊥BC
第2课时 等腰三角形的判定
一、填空题
1．如图（1），△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长
为14，BC=6，则AB的长为 。
2．在△ABC中，∠A=90°，BD为角平分线，DE⊥BC于E，且E恰为
BC中点，则∠ABC等于 。
3．等腰三角形的底边长为5cm，一腰上中线把其周长分成两部分之差为3cm，则腰长为 。
4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。
5．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= 。
6．等腰三角形底角的一个外角为100°，则它的顶角为 。
7．如图（2），AB∥CD，AC平分∠DAB，若∠D=136°，则
∠DCA= 。
8．如图（3），在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D、C、B、E
在一条直线上，且DB=AB，CE=AC，则∠E= ，
∠D= ，∠DAE= 。
9．如图（4），已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，
MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为 。
10．等腰三角形的周长为24cm，其中一边长为7cm，则另外两条
边为 。
二、解答题
1．如图（5），△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF，求∠EDF的度数。
[来源:学科网ZXXK]
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2．如图（6），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AD=AC，DF⊥AB于D，交BC于F。求证：BD=CF。
3．如图（7），△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F。求证：CF=2BF。
4．如图（8），△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且HB=HC。求证：AB=AC。
参考答案
一、 1． 8
2．60°
3．8cm
4．直角三角形
5．50°、65°
6．20°或80°
7．22°
8．25° 35° 110°
9．20°
10．7cm、10cm或8.5cm、8.5cm
二、1．证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵BD=BE CD=CF
∴∠1=∠2 ∠3=∠4[来源:学科网ZXXK]
∵∠B+∠1+∠2=180°∠C+∠3+∠4=180°
∴∠2= （180°—∠B）∠4= （180°—∠C）
∵∠2+∠EDF+∠4=180°
∴∠EDF=180°—∠2—∠4=180°— （180°—∠B）— （180°—∠C） =∠B+∠C=100°
2．证明： 连结AF。
∵DF⊥AB
∴∠ADF=90°
在Rt△ACF和△ADF中
AF=AF
AC=AD
∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）
∴CF=DF
∵AC=BC
∴∠A=∠B
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=90°
∴∠B=45°
∵∠DFB+∠B+∠BDF=180°
∴∠DFB=45°
∴∠B=∠DFB
∴DF=BD
∵CF=DF[来源:Z_xx_k.Com]
∴BD=CF
3．证明：连结AF[来源:Z*xx*k.Com]
∵EF是AB的垂直平分线
∴AF=BF
∴∠B=∠BAF
∴∠A=120°
∴∠B=∠BAF=30°
∴∠FAC=90°
∵AB=AC
∴∠C=∠B=30°
∴AF= CF，即CF=2AF
∵AF=BF
∴CF=2B 4．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠BEC=∠CFB=90°
在Rt△BCF和Rt△CBE中
BC=BC
CF=BE
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
