14.3 因式分解
14．3.1 提公因式法
课前预习
要点感知 多项式的各项中都含有公共的因式叫做这个多项式的________．如果一个多项式的各项含有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做________．
预习练习1－1 多项式8a3b2＋12a3bc－4a2b中，各项的公因式是( )
A．a2b B．4a2b C．－4a2b2 D．－a2b
1－2 (南宁中考)因式分解：ax＋ay＝________．
当堂训练
知识点1 因式分解的定义
1．下列式子是因式分解的是( )[来源:学*科*网]
A．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B．2a＋4＝2(a＋1)
C．a2＋2a＝a(a＋2)
D．x2＋3x＋2＝x(x＋3)＋2
知识点2 用提公因式法分解因式
2．用提公因式法分解因式：
(1)3x3＋6x4； (2)4a3b2－10ab3c；
[来源:Z#xx#k.Com]
(3)－3ma3＋6ma2－12ma；(4)6p(p＋q)－4q(p＋q)．
[来源:Zxxk.Com]
[来源:学_科_网]
课后作业
3．(河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
4．(威海中考)若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
5．(来宾中考)分解因式：x3－2x2y＝________．
6．将下列各式分解因式：[来源:学科网ZXXK]
(1)x(x－y)＋y(y－x)；
(2)(a2－ab)＋c(a－b)；
(3)4q(1－p)3＋2(p－1)2.
挑战自我
7．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由．
参考答案
要点感知 公因式 提公因式法
预习练习1－1 B 1－2 a(x＋y)
当堂训练
1．C 2.(1)原式＝3x3(1＋2x)． (2)原式＝2ab2(2a2－5bc)． (3)原式＝－3ma(a2－2a＋4)． (4)原式＝2(p＋q)(3p－2q)．
课后作业
3．D 4.A 5.x2(x－2y) 6.(1)原式＝x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)(x－y)＝(x－y)2. (2)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a＋c)(a－b)． (3)原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2＝2(1－p)2(2q－2pq＋1)．
挑战自我
7．△ABC是等腰三角形．理由：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0.∴(a－c)(1＋2b)＝0.故a＝c或1＋2b＝0.显然b≠－，故a＝c.∴此三角形为等腰三角形．
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
课前预习
要点感知 a2－b2＝________，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的________．
预习练习 (岳阳中考)分解因式：x2－9＝_____________________________________
当堂训练
知识点1 直接运用平方差公式因式分解
1．分解因式：
(1)4x2－y2; (2)－16＋a2b2；
(3)－25y2; (4)(x＋2y)2－(x－y)2.
知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解
2．分解因式：
(1)a3－9a；
(2)3m(2x－y)2－3mn2；
(3)(a－b)b2－4(a－b)．[来源:学科网ZXXK]
课后作业[来源:Zxxk.Com]
(云南中考)分解因式：3x2－12＝____________________________________
4．(梅州中考)分解因式：m3－m＝_________________________________________________________.
5．(孝感中考)若a－b＝1，则代数式a2－b2－2b的值为________．
6．在实数范围内因式分解：
(1)x2－3； (2)x4－4.
挑战自我[来源:Zxxk.Com]
7．老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
[来源:学|科|网]
[来源:学#科#网]
(3)证明这个规律的正确性．
参考答案
要点感知 (a＋b)(a－b) 积
预习练习 (x＋3)(x－3)
当堂训练
1．(1)原式＝(2x＋y)(2x－y)． (2)原式＝(ab＋4)(ab－4)． (3)原式＝(＋5y)(－5y)． (4)原式＝[(x＋2y)＋(x－y)][(x＋2y)－(x－y)]＝3y(2x＋y)． 2.(1)原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)． (2)原式＝3m[(2x－y)2－n2]＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)． (3)原式＝(a－b)(b2－4)＝(a－b)(b＋2)(b－2)．
课后作业
3．3(x－2)(x＋2) 4.m(m＋1)(m－1) 5.1 6.(1)原式＝(x－)(x＋)． (2)原式＝(x2＋2)(x2－2)＝(x2＋2)(x＋)(x－)．
挑战自我
7．(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6. (2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数． (3)证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
第2课时 运用完全平方公式因式分解
课前预习
要点感知1 我们把a2±________＋b2这样的式子叫做完全平方式．
预习练习1－1 下列式子中为完全平方式的是( )
A．a2＋b2 B．a2＋2a
C．a2－2ab－b2 D．a2＋4a＋4
要点感知2 a2＋2ab＋b2＝________；a2－2ab＋b2＝________．即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的____________．[来源:学科网]
预习练习2－1 分解因式：a2－4a＋4＝________．
当堂训练
知识点1 完全平方式
1．下列式子为完全平方式的是( )
A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2
C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1
2．(曲靖模拟)若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝________．
3．若x2＋mx＋4是完全平方式，则m的值是________．
知识点2 直接运用完全平方公式因式分解
4．因式分解：
(1)4x2＋y2－4xy；
(2)9－12a＋4a2；
[来源:学.科.网]
(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
[来源:Zxxk.Com]
课后作业
5．(安徽中考)下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
6．(贺州中考)把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
7．(泰州中考)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
8．(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
[来源:Z,xx,k.Com]
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
挑战自我[来源:学.科.网]
9．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
第2课时 运用完全平方公式因式分解
要点感知1 2ab
预习练习1－1 D
要点感知2 (a＋b)2 (a－b)2 和(或差)的平方
预习练习2－1 (a－2)2
当堂训练
1．D 2.9 3.±4 4.(1)原式＝(2x)2＋y2－2×2x·y＝(2x－y)2. (2)原式＝32－2×3×2a＋(2a)2＝(3－2a)2. (3)原式＝(m＋n－3)2.
课后作业
5．B 6.B 7.1 8.(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.另∵a－b＝3，∴a＝b＋3.∴原式＝(b＋3)(3－b)＋b2＝9－b2＋b2＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.
挑战自我
9．答案不唯一，如：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．
