21.3实际问题与一元二次方程（1）
一、教学目标
1.会利用一元二次方程解决传播问题.
2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.
二、教学重点和难点
1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.
2.难点：根据传播问题列方程.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有 人得流感.
(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有 人得流感.
【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】
（二）创设情境，导入新课
师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的例题）
例 有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？
师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）
师：谁能不看黑板说出题目的意思？
生：……（让几名同学说）
师：这个题目怎么设？
生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）
师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？
生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）
师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）
生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）
师：下面大家根据题目的意思列一列方程.
（生列方程，师巡视）
师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？
生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.
师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）
师：解出来的结果是什么？
生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.
师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）
师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.
师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.
师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）
师：下面请大家自己来做一个练习.
（三）试探练习，回授调节
2.完成下面的解题过程：
有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？
解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.
根据题意列方程，得 .
提公因式，得( )2= .
解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.
答：每轮传播中平均一个人传播了 个人.
3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：
(1)经过一轮传播后，共有 人知道这个消息；
(2)经过两轮传播后，共有 人知道这个消息；
(3)经过三轮传播后，共有 人知道这个消息；
(4)请猜想，经过十轮传播后，共有 人知道这个消息.
（五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.
（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）
四、板书设计（略）
作业
21.3 实际问题与一元二次方程(2)
教学内容
建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．
教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）
解：设每张贺年卡应降价x元
则（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
二、探索新知
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．
例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；，从这些数目看，好像两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．
解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
则：（0.75-y）（200+×34）=120
即（-y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y=
∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）
y≈0.23元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．
（学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
老师点评：
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．
依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．
三、巩固练习
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?
四、应用拓展
例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
五、归纳小结
本节课应掌握：
建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
作业
21.3实际问题与一元二次方程（3）
一、教学目标
1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
二、教材分析
本课时的教材在一元二次方程实际运用的第三课时，通过由根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题。本节是在之前已经充分讨论了解一元二次方程的几种方法，并且已有由实际问题列出一元二次方程的内容的基础上，进一步以“探究”的形式更深入地讨论如何用一元二次方程解决实际问题。本节要探究的实际问题，比前面出现的实际问题，在分析数量方面更加复杂些，问题情景也跟实际情况更接近。这为以后，学生在实际生活中的应用打好坚实的基础。
三、重点难点
重点： 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
四、教学方法
引导学习法
五、教具准备
多媒体课件
六、教学过程
【引入】
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
【探索新知】
学生活动1：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
分析：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
学生活动2：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm， 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
【巩固练习】
1．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
2．有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
【应用拓展】
谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．
【归纳小结】
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
作业
