24．2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1 点和圆的位置关系
教学目标
1．理解点和圆的三种位置关系及数量间的关系，体验数形结合的数字思想．
2．探究过三点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法．
3．了解运用反证法证明命题的方法．
教学重点
点和圆的位置关系．
教学难点
探究过三点作圆的过程理解过同一直线上的三点不能作圆的道理．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉．如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第92至94页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 点和圆的三种位置关系
活动一：如图，⊙O的半径是r.填空：点A在⊙O________，点B在⊙O________，点C在⊙O________；比较大小：OA________r，OB________r，OC________r.
思考：我们知道，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，如右图，⊙O就是到定点________的距离等于定长________的点的集合．那么，到定点的距离小于定长的点的集合是什么图形呢？到定点的距离大于定长的点的集合又是什么图形呢？
【反思小结】(1)点的位置关系可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．(2)符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【小组讨论】你能归纳出点和圆的位置关系与数量关系之间的对应关系吗？
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 过不共线的三点作圆
活动二：出示教材第93页探究．
思考：(1)如图1，A是平面内任意一点，请作出经过点A的圆，圆的位置固定吗？大小固定吗？
(2)如图2，A，B是平面内任意两点，请作出经过A，B两点的圆，思考：如何确定圆心？圆的位置固定吗？圆的大小固定吗？
【展示点评】过一个点或过两个点都可以作无数个圆．
活动三：出示教材第93页“思考”．
如图，A，B，C是三个不在同一条直线上的三点．设经过这三点的圆的圆心为O，由OA，OB，OC之间的数量关系可知，点O在线段AB，BC，AC的________上．那么，请你在图中画出点O及经过A，B，C三点的圆．(要求：尺规作图．提示：画出两条垂直平分线即可)
【展示点评】①______上的________个点确定一个圆．
②经过三角形的三个顶点可以作________个圆，这个圆叫做三角形的________．
③三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它是三条边________的交点，它到三个顶点的距离________．
【小组讨论】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”中“不在同一条直线”这个条件能否省略？为什么？
【反思小结】“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
探究点三 反证法
活动四：出示教材第94页“思考”．
【展示点评】假设经过同一条直线上的点A，B，C三点可以作一个圆，由此，可推出与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．
【小组讨论】什么叫反证法？反证法的证明过程是怎样的？假设待证结论不成立时，应该注意什么问题？(要求：围绕教材实例理解即可)
【反思小结】从命题结论的反面出发，通过推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法就叫做反证法．假设待证结论不成立时，必须考虑结论反面可能出现的情况，写出所有情况，且一一加以否定，才能得出原命题正确的结论．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点三
四、总结梳理 内化目标
1．点和圆的位置关系与数量关系之间的互化．
2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3．三角形的外接圆．
4．反证法的一般步骤．
五、达标检测 反思目标
1．⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为10cm，则点P与⊙O的位置关系为__在圆上__．
2．(2015·盐城)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则此三角形外心与直角顶点C的距离为__5__．
4．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点O为坐标原点，则点O的位置为( B )
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
5．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第101页习题24.2第1，7题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思]
24．2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
教学目标
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2．会用数量关系确定直线与圆的位置关系，体验数形结合的数学思想．
教学重点
切线的判定与性质．
教学难点
探索圆的切线的性质．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
1．如图(1)，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
图(1) 图(2)
2．如图(2)，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第95至96页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 直线和圆的位置关系
活动一：在下列图中，画图表示你所发现的直线和圆的三种位置关系．
【展示点评】观察右图，直线________和⊙O相交，它叫做⊙O的________，和⊙O的交点有______个，分别是________；直线________和⊙O相切，它叫做⊙O的________，和⊙O的唯一公共点可以说成切点；直线________和⊙O相离．
【小组讨论】根据定义，判断一条直线与圆的位置关系的关键是什么？
【反思小结】要判断一条直线与圆的位置关系的关键是看直线与圆的公共点的个数．当直线和圆有唯一公共点时，我们说这条直线和圆相切，当直线与圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交，当直线与圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离．直线和圆有交点意即有1个交点或有2个交点．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 直线和圆的位置关系与数量关系的推导
活动二：在直线和圆不同的位置关系中，d与r有怎样的数量关系？如何根据d与r之间的数量关系确定直线和圆的位置关系？
【展示点评】直线l和⊙O相交______；直线l和⊙O相切______；直线l和⊙O相离______．
【小组讨论】研究直线和圆的位置关系，可以转化为哪两个量的大小关系来说明？和上例相比，判断直线和圆的位置关系，还可以运用什么方法？
【反思小结】要判断一条直线与圆的位置关系除了可以直接应用定义根据公共点个数判断外，还可以看圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系．注意理解点到点的距离和点到直线的距离是有区别的．在判断直线和圆的位置关系时，一定要注意是将圆的半径和圆心到直线的距离作比较，而非直径．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
直线和圆的位置,相交,相切,相离公共点个数,
公共点名称,,,无
直线名称,,,无圆心到直线的距离d与半径r的关系,五、达标检测 反思目标
1．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是( C )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知圆的直径为6cm，圆心到直线l的距离为3.5cm，那么这条直线和这个圆的交点的个数是( A )
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2.8，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是__相交__．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AO＝x，⊙O的半径为1，问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？
【答案】 解：如图，过点O作OD⊥AC于D，AC与⊙O相切时OD＝1，
∵∠A＝30°，∴AO＝2OD＝2，即x＝2.∴当x＞2时，AC与⊙O相离；
当x＝2时，AC与⊙O相切；当0≤x＜2时，AC与⊙O相交．
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第101页第2题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思__
第2课时 切线的判定与性质
教学目标
1．理解切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线．
2．能综合运用圆的切线的判定与性质定理解决问题．
教学重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
在纸上画一个⊙O和圆上一点A，根据所学知识，如何画出这个圆的过点A的一条切线？
(1)能画几条？
(2)有几种画法？
(3)你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第97至98页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 切线的判定定理的推导
活动一：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现上面问题和上节课所学内容的联系吗？
【展示点评】
切线的判定定理,文字语言,数学语言经过________并且________的直线是圆的切线．,,如图，∵ OC为半径，且OC⊥AB，∴AB与⊙O相切于点C. 观察下面两图形，发现直线l都不是圆的切线．所以，在理解切线的判定定理时，应注意两个条件“经过半径外端”、“垂直于半径”缺一不可．
【小组讨论】已知圆上一点，如何过这个点作圆的切线？依据是什么？
【反思小结】连接圆心和圆上这点，过圆上这个点作这条半径的垂线即可，依据是切线的判定．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 切线性质定理的推导
活动二：将探究点一中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
结论：半径OA与直线l________．
【展示点评】假设OA与l不垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线作最短的性质，有________＜________．
∴直线l与⊙O________．
而由已知条件知直线l与⊙O相切，
∴假设不正确．
因此，OA与直线l垂直．
【小组讨论】证明切线性质定理的方法是什么？切线的判定与性质的区别是什么？
【反思小结】切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法．切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用．
[综合运用]出示教材第98页例1.
思考：要证明AC是⊙O的切线，只需证明哪一点即可？学生合作完成，教师点评．
[变式运用]如图，⊙O与AB切于点D，O为BC的中点，AB＝AC.
求证：AC与⊙O相切．
思考：AC与⊙O的公共点不确定，要证明AC是⊙O的切线，可以过点O向AC作垂线段，接着根据切线的判定定理，只要再证明什么即可？
【展示点评】证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC于E，
∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵AB＝AC，O为BC中点，∴AO平分∠BAC，且OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为⊙O半径，且OE⊥AC，∴AC与⊙O相切．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
1．两个定理：切线的判定定理是________．
切线的性质定理是________．
2．数学思想方法：
(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法．
(2)证明切线的方法：
①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”．
②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
(3)在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直条件．
五、达标检测 反思目标
1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( A )
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝( D )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
第1题图
第2题图
第3题图
3．(中考·湘潭)如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__BC⊥AB或∠ABC＝90°__．
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第101页第3，4，5题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思
第3课时 切线长定理
教学目标
1．了解切线长的概念．
2．掌握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
教学重点
切线长定理及应用．
教学难点
切线长定理的导出及证明和综合应用．
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B.
1．OB是⊙O的一条半径吗？
2．PB是⊙O的切线吗？
3．我们把经过圆外一点的圆的切线上，切点与圆外一点之间的线段叫做切线长，本节课主要研究切线长的有关性质．
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第99至100页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 切线长定理
活动一：出示教材第99页“探究”．
思考：在折叠的过程中，你发现了什么？
【展示点评】1.经过圆外一点作圆的切线，这点和________之
间的线段长叫做切线长．如右图，线段________和________的长就是切线长．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________．如上图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，于是由定理可得两个结论：________＝________，∠________＝∠________.
【小组讨论】切线和切线长的区别是什么？教材是如何证明切线长定理的？
【反思小结】切线与切线长是不同的概念，切线是直线，不可度量；切线长是切线上的一条线段的长，可以度量．切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 三角形的内切圆
活动二：出示教材第99页“思考”
问1：与△ABC三边距离相等的点在什么地方？你能作出这个点吗？
问2：以这一点为圆心，以该点到三边距离为半径作圆，这个圆与三角形的三条边是什么关系？
【展示点评】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个圆的圆心叫做三角形的内心．
【小组讨论】内切圆与外接圆有什么区别？
[综合运用]出示教材第100页例2.
学生合作交流完成，老师点评．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
有关概念、定理,1.经过圆外一点作圆的切线，这点和______之间的______的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的______相等，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角．
3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________．方法、
规律,,1.在运用切线长定理时，如左图作出辅助线，可以与等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识产生联系．,2.三角形的内心已知时，连接顶点和内心的射线平分这个内角，从而要将内心条件和角平分线条件建立起对应关系．易错点,,如左图，若AB＝AC，且AB与⊙O相切于点B，那么AC也是⊙O的切线．注意这只是真命题，而不是定理，不可当证明依据使用．五、达标检测 反思目标
1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝75°，则∠BOC的度数为( C )
A．105° B．125° C．127.5° D．100°
2．如图，△ABC的周长为18，其内切圆分别切三边于D、E、F三点，CE＝3，BE＝4，则AF的长为( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
第1题图
第2题图
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第101页习题24.2第11，12题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思
