22.2降次——解一元二次方程 习题精选
直接开平方法
1．如果(x－2)2=9，则x＝ ．
2．方程(2y－1)2－4=0的根是 ．
3．方程(x+m)2＝72有解的条件是 ．
4．方程3(4x－1)2=48的解是 ．
配方法
5．化下列各式为(x+m)2+n的形式．
(1)x2－2x－3=0 ．
(2) ．
6．下列各式是完全平方式的是( )
A．x2+7n=7
B．n2－4n－4
C．
D．y2－2y+2
7．用配方法解方程时，下面配方错误的是( )
A．x2+2x－99=0化为(x+1)2=0
B．t2－7t－4=0化为
C．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D．3x2－4x－2=0化为
8．配方法解方程．
(1)x2+4x=－3 (2)2x2+x=0
因式分解法
9．方程(x+1)2=x+1的正确解法是( )
A．化为x+1=0
B．x+1＝1
C．化为(x+1)(x+l－1)＝0
D．化为x2+3x+2＝0
10．方程9(x+1)2－4(x－1)2=0正确解法是( )
A．直接开方得3(x+1)=2(x－1)
B．化为一般形式13x2+5＝0
C．分解因式得[3(x+1)+2(x－1)][3(x+1)－2(x—1)]=0
D．直接得x+1＝0或x－l＝0
11．(1)方程x(x+2)=2(z+2)的根是 ．
(2)方程x2－2x－3=0的根是 ．
12．如果a2－5ab－14b2=0，则= ．
公式法
13．一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式是 ，其中b2—4ac ．
14．方程(2x+1)(x+2)=6化为一般形式是 ，b2—4ac ，用求根公式求得x1= ，x2= ，x1+x2= ， ，
15．用公式法解下列方程．
(1)(x+1)(x+3)＝6x+4．
(2)．
(3) x2－(2m+1)x+m＝0．
16．已知x2－7xy+12y2＝0(y≠0)求x：y的值．
综合题
17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．
18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．
19．利用配方求2x2－x+2的最小值．
20．x2+ax+6分解因式的结果是(x－1)(x+2)，则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?
21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．
22．m是非负整数，方程m2x2－(3m2—8m)x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m
的值．
23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．
24．解方程
(1)(x2+x)·(x2+x－2)=24；
(2)
25．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．
26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?
27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则( )
A．a=b
B．a－b=l
C．a+b=－1
D．非上述答案
28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．
29．海洲市出租车收费标准如下
里程x(km)
0＜x≤3
3＜x≤6
x＞6
单价y(元)
N
(规定：四舍五入，精确到元，N≤15)N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?
30．方程(x－1)(x+2)(x－3)＝0的根是 ．
31．一元二次方程x2—2x＝0的解是( )
A．0 B．2 C．0，－2 D．0，2
32．方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．
33．方程是一元二次方程，则这方程的根是什么?
34． x1、x2是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A(x1+x2，0)B(0，xl·x2)两点的直线解析式．
35．a、b、c都是实数，满足，ax2+bx+c＝0，求代数式x2+2x+1的值．
36．a、b、c满足方程组求方程的解。
37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?
参考答案：
1．x1＝5，x2＝—l
2．
3．n≥0 4．
5．(1)(x—1)2—4(2)
6．C 7．C
8．(1)方程化为(x+2)2＝l，∴x1=—l，x2＝—3．
(2)方程化为配方得．∴
9．C 10．C
11．(1)x1＝2，x2＝—2．
(2)x1＝3，x2＝—1．
12．∵a2—5ab—14b2＝0，
∴(a—7b)(a+2b)＝0，
∴ a＝76或a＝—26．
∴
13．
14．2x2+5x—4=0，57，,,,x1x2=—2．
15．(1)．
(2)
(3) ，
16．∵x2—7xy+12y2＝0，
∴(x—3y)(x—4y)＝0，
∴ x＝3y或x＝4y，
∴x：y＝3或x：y＝4．,
17．由x2—17x+66＝0得x1＝11，x2＝6．但x＝11不合题意，故取x＝6．
∴三角形周长是17．
18．∵x2+2mx+4—m2是完全平方式，∴4m2—4(4—m2)＝0．解之，．
19．，
∴2x2—x+2的最小值是。
20．x1＝l，x2＝—2
21．由题意得a2—3a+l＝0，
∴a2—3a＝—l，a2+l＝30．
∴原式=．
22．原方程可变为[mx—(2m—3)][mx— (m—5)]＝0，
∴若x1为整数，则为整数，
∴m＝l或m＝3．若x2为整数，则为整数．
∴m＝l或m＝5．因而m的值是l或3或5．
23． ．
∴．
∴
∴原式＜0．
举例略．
24．(1)(x+ x)( x2+ x—2)＝24，整理得 (x2+ x)2—2(x2 + x)—24＝0，
∴(x2+ x—6)( x2+ x +4)．
∴x 2+ x—6＝0．x2+ x +4＝0由x2+ x—6＝0得x1＝—3，x2＝2．方程x2+ x +4＝0无解．
∴原方程的根是x＝—3或x＝2．
(2)，即，解得＝3或＝2(舍去)，
x1＝3，x2＝—3．∴原方程的根是x＝3或x＝—3．
25．(1)设方程只有一个根相同，设相同的根是m．
∴有m—6m—k—1＝0，①
m2—mk—7＝0，②
①—②得(k—6) m＝k—6，k≠6时，∴m＝1将，m＝l代人①得k＝—6．
(2)设方程有两个相同的根，则有—k＝—6且—k—l＝—7．∴k＝6．
∴k＝—6时，方程有一个相同的根是x＝1；k＝6时，方程有两个相同的根是x1＝7，x2＝—1．
26．设涨价x元，则售价定为(50+x)元．依题意列方程得(500—10x)[(50+x)—40]＝8 000．解之，x1＝30，x2＝10．x＝30时，50+x＝80，售量为500—300＝200．x＝10时50+x＝60，售量为500—100＝400．因而，售价定为80元时，进货200个，售价定为60元时，进货400个．
27．D
28．可给出如图所示的设计，求出x即可．由题意，可列出方程．化简得3x2—95x +375＝0，解之x1＝4.62，x2＝27.04．经检验x＝27.04不合题意，舍去，故取x＝4.62．
28题图
29．由题意，可列出方程．
解之，N2—29.1N+191＝0．
∴N1＝10，N2＝19.1(不合题意舍去)
∴起步价是10元．
30．x1＝l，x2＝—2，x3＝3
31．D
32．k＝l，另根—3．
33．先确定m＝2，∴方程是4x2+6x+l=0．
34．通过解方程可知A(，0)，B(0，—3)，∴过AB的直线是y＝2x—3．
35．由题意得2—a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0，
∴a＝2，b＝4，c＝—8．
∴x满足2x2+4x—8＝0，即x2+2x—4＝0．
∴x2+2x+l＝4+1＝5．
36．a、b是方程＝0的根．
∴．∴．
∴∴a＝b＝4．
∴原方程为．方程的根是
