奥数练习
1．将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
2．机器人对自然数列从1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数染成黄色（比如23可表示为两个合数15与8之和，23要染成红色，而1不能表为两个合数之和，1染成黄色．问被染成红色的数由小到大数下去，第1992个数是多少?请说明理由．
分析与解答
1．将红色记为0，蓝色记为1，再将小方格编号，记为1，2，…，，又记第i个方格四个顶点数字之和为．若恰有三顶点同色，则或3是奇数，否则为偶数．因正方形内部的交点是四个小方格的顶点，正方形边上非顶点A、B、C、D的交点，是两个小方格的顶点，顶点A、B、C、D是一个小方格的顶点，则等于4×（内部相应的交点数之和）＋2×（边上相应的非A、B、C、D的交点数之和）＋2，它是偶数，于是在，，…，中必有偶数个奇数，即为恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个．
2．当n≥12时，n＝2q＋r（q≥6，r＝0或1）＝2（q－4）＋（8＋r），由q≥6，q－4≥2，2（q－4）为合数，r＝0时，8＋r＝8；r＝1时，8＋r＝9都是合数．所以凡不小于12的自然数都是红色数．容易验证，黄色数只有1，2，3，4，5，6，7，9，11这九个，所以第1992个红色数是1992＋9＝2001．
