12．3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质(一)
1．探索并证明角平分线的性质．
2．会用尺规作一个已知角的平分线．
3．能利用角平分线的性质解决问题．
4．了解一个几何命题的证明步骤．
探索并证明角平分线上的点到角两边距离相等．
证明一个几何命题．
一、创设情景，明确目标
1．不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角．你有什么办法？
2．如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
二、自主学习，指向目标
学习至此：请完成《学生用书》相应部分．
用尺规作已知角的平分线的方法
活动一：教材P48思考
展示点评：相等的边有哪些？图形中隐含的条件是什么？作已知角的平分线的方法？为什么要用“大于MN的一半为半径画弧”？
小组讨论：平分角的仪器的原理依据是什么？
反思小结：理论依据是三角形全等的判定“SSS”．
针对训练：见《学生用书》相应部分
角平分线的性质与证明
活动二：同学们结合折纸活动，猜想一下角平分线有怎样的性质呢？
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
展示点评：请同学们证明上述猜想(写出已知、求证)：
通过证明我们得出角平分线性质：________．
用数学语言翻译描述上述性质：
小组讨论：第一次对折可以得到什么结论？第二次为什么要折出一个直角？角平分线的性质内容？已知和求证分别是什么？如何证明？如何用几何语言叙述？基本图形是什么？
反思小结：角平分线上的点到角两边的距离相等．
针对训练：见《学生用书》相应部分
角平分线的运用
活动三：如图，OC平分∠AOB，点P为OC上任意一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，猜想PD与PE的数量关系，并证明．
展示点评：由角平分线可以得到哪些角相等？由垂直可以得到哪些角相等？由图形可挖掘什么条件？由三角形全等可以得到什么结论？如何写证明过程？
小组讨论：本题有哪些不同的证明方法，哪种方法更简便？
反思小结：用角平分线的性质证明线段相等比用全等三角形证明线段相等更方便．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
本节课学习了那些知识？有哪些运用？
1．角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径．
五、达标检测，反思目标
1．三角形中，到三边距离相等的点是( C )
A．三条高线交点 B．三条中线交点
C．三条角平分线交点 D．三边垂直平分线交点
2．邻补角的平分线的夹角是( B )
A．80° B．90° C．45° D．180°
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，垂足为C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是( B )
A．PC>PD B．PC＝PD
C．PC
4．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE的长是( A )
A. cm B．6 cm
C．4 cm D．2 cm
5．如图所示，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于O点，OF⊥AD，OG⊥AE，垂足分别为F、G，则OF__＝__OG(填“>”“<”或“＝”)．
6．在△ABC中，∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．
第5题图
第6题图
解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∴DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，
∴DC＝DE.
又∵BC＝64，BD：DC＝9：7，
∴DC＝×64＝28.∴DE＝28.
1．上交作业 习题12.3 2、3、4、5.
2．课后作业 见《学生用书》．
第2课时 角的平分线的性质(二)
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理．
2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
理解并证明“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．
“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”这个结论的证明及应用．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景，明确目标
1．会用尺规作角的平分线．
2．角的平分线的性质：反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
二、自主学习，指向目标
学习至此：请完成《学生用书》相应部分．
三、合作探究，达成目标
角平分线判定
活动一：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米．
思考：这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
根据上题我们猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在________．
展示点评：请大家尝试证明上述猜想(注意：写出已知、求证)
经过证明，我们可以得出角的平分线判定：________________________________________________________________________.
写出角平分线判定的数学语言描述：
小组讨论：根据证明的结果可以得到什么结论？如何用几何语言叙述？基本图形是什么？
反思小结：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
针对训练：见《学生用书》相应部分
角平分线性质的应用
活动二：见教材P50例(答案见课本)
展示点评：通过经过点P向三边作垂线，把问题转化为角平分线性质的基本图形，从而解决问题．
小组讨论：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
反思小结：三角形三条内角平分线相交于一点，且该点到三边的距离相等．
四、总结梳理，内化目标
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
用数学语言表示为：
∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE.
∴点Q在∠AOB的平分线上．
五、达标检测，反思目标
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DE＝2 cm，BD＝3 cm，则BC等于( A )
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
第1题图
第2题图
2．BD是△ABC的角平分线，自D向AB、BC两边作垂线，垂足为E，F，那么下列结论中错误的是( B )
A．DE＝DF B．AD＝DC
C．BE＝BF D．∠BDE＝∠BDF
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC∶∠B＝2∶1，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，AC＝3 cm，则BE的长是__3_cm__．
第3题图
第4题图
4．三条公路两两相交，交点分别为A，B，C现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有__4__处．
5．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，过点P作PE∥AB交BC于E，点F在BC上，连接PF，已知D到PE的距离与D到PF的距离相等．求证：PF∥AC.
证明：∵点D到PE与PF的距离相等，
∴PD平分∠EPF，
∴∠3＝∠4
又∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2
∵PE∥AB，∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠4
∴PF∥AC
1．上交作业 习题12.3 6、7.
2．课后作业 见《学生用书》．
