13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．在射线、角和等腰三角形中，它们（ ）轴对称图形
A．都是 B．只有一个是
C．只有一个不是 D．都不是
3．如下图：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（ ）个等腰三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．非等腰三角形
D．等边三角形
5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（ ）
A．70° B．20°或70°
C．40°或70° D．40°或20°
二、填空题（每题6分，共30分）
1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________ 。
2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________
3．如下图：△ABC 中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE= ______________。
4．等腰三角形中有两个角的比为1：10，则顶角的度数是__________________。
5．如下图：等边△ABC，D是形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
如左图：直线MN及点A，B。
在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
1．已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。
求证：HB=HC。
2．已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
3．已知：如图：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。
求：∠C的度数。
选作题：
已知：如图：△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC。
求证：AD⊥BC。
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参考答案
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．C2．A3．C4．D5．B
二、填空题（每题6分，共30分）
1．50°或80°
2．6
3．10，15°
4．150°或
5．30
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等边对等角）
∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中两个锐角互余）
同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，
∴HB=HC（同一△中等角对等边）
2．证明：∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°
在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠2=∠1
∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°
∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°
∵BM⊥AD，∴（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）
3．解：延长DB到E，使BE=AB，连结AE，则∠1=∠E。
∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E
∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC
∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120°
∴2∠C+∠C=180°-120°=60°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠C=20°
答：∠Ｃ的度数是20°
选作题
证明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N
∵∠1=∠2，∴PM=PN
在Rt△BPM和Rt△CPN中[来源:学科网ZXXK]
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴∠ABP=∠ACP
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。
∴AB=AC，∵∠1=∠2
∴AD⊥BC
第2课时 等腰三角形的判定
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）
A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个
第1题 第2题 第4题
如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5[来源:学#科#网]
3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（ ）
A． 三条边都相等的三角形D． 一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
B． 有一个锐角是45°的直角三角形C． 一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（ ）
A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 6种
5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A． ∠A=30°，∠B=60° B． ∠A=50°，∠B=80°
C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13
6．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（ ）
A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D． 2，2，5
8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． ①③④ B． ①②③④ C． ①②④ D． ①③
二．填空题（共10小题）
9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用 _________ 根火柴．
10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD= _________
第10题 第11题 第14题 第18题
11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有 _________ 个等腰三角形．
12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是 _________ ．
13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B= _________ °时，△ABC是等腰三角形．
14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1= _________ 度，图中有 _________ 个等腰三角形．
15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是 _________ ．
16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是 _________ 三角形．
17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成 _________ 种．
18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是 _________ 三角形．
三．解答题（共5小题）
19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是 _________ ．（直接写出结论，不需证明）
20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．
[来源:学科网ZXXK]
22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）求证：△ABC≌△CDA．
（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．
答案：一、DCDCBABA
二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；
16、等腰；17、4；18、等腰
三 、19、（1）证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠OBC=∠OCB．
∴OB=OC．
∴△OBC为等腰三角形．
故填等腰三角形．
20、解答： 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵AO平分∠BAC，
∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1=∠2，
∴OB=OC．
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．[来源:学科网]
∴∠5=∠6．
∴∠1+∠5=∠2+∠6．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
21解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∵OB=OC，[来源:学科网]
∴∠OBC=∠OCB．
又∵∠DBO=∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
22解：△ABC中
∵AB=AC，∠A=36°
∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=72°
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=∠ACB=36°
在△DBC中
∠BDC=180°﹣∠B﹣∠DCB=72°=∠B
∴CD=CB
即△BCD是等腰三角形．
23、解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，[来源:Zxxk.Com]
∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∵CB=CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；
（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，
∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C=DA，AB′=CD，
又OA=OC，
∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，
在△AB′O和△CDO中，，
∴△AB′O≌△CDO．
