22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
教 学 目 标
知识技能：
①会根据实际问题列二次函数，并能根据实际情况确定自变量的取值范围；
②使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。
方法过程：
让学生通过阅读、合作讨论、动手画草图、分析、对比，能找出实际问题中的数量关系，揭示两个变量的关系，培养学生结合图形与其性质解决问题的能力
解决问题：
通过两个变量之间的关系，进一步体会二次函数的应用，体验数形结合思想。
情感态度：
通过具体实例，让学生经历应用二次函数解决实际问题得全过程，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点。
重点：培养学生解决实际问题，综合解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法 。
难点：对实际问题中变量和变量之间的相互依赖关系的确定。
教学过程：
基础扫描
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ， 顶点坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最小 值是 5 。
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ， 顶点坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值是 -1 。
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ， 2 时，函数有最 小 值， 顶点坐标是(2 ，1) .当x= 是 1 。
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理， 如何定价才能使商场获得最大利润呢？
自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元， 每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨 价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该 商品应定价为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 （20+x） 元，每周的销售量可表示为 可表示为 （300-10x） 件，一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x) 元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
合作交流
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市 场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格， 每降价一元，每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大？
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格 ， 每涨价一元，每星期要少卖出10件； 每降价一元，每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元）
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x 的取值范围 =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
当堂检测
1. 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场 调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500 件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售 出100件. （1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种 小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关 系式，并注明x的取值范围； （2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销 售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？ （注：销售利润=销售收入－购进成本）
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
（2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
配方得y=－100（x－3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元. 即降价为3元时，利润最大. 所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
布置作业：
