12.2 三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定（一）（SSS）
1.掌握三角形全等的判定(SSS).
2.体会尺规作图.
3.掌握简单的证明格式.
阅读教材P35-37页“探究1-探究2及例1”，掌握三角形全等的判定条件SSS并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，学生独立完成下列问题：
自学反馈
(1)在△ABC、△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF.
(2)若两个三角形全等，则它们的三边对应相等；反之，如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等.
(3)下列命题正确的是(A)[来源:Z+xx+k.Com]
A.有一边对应相等的两个等边三角形全等[来源:学科网ZXXK]
B.有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一边对应相等的两个直角三角形全等
(4)已知AB=3，BC=4，CA=6，EF=3，FG=4，要使△ABC≌△EFG，则EG=6.
(5)如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的稳定性.
两个三角形三角、三边六个元素中，满足一个或两个元素相等是无法判定全等的，我们这节课探讨的是三个元素相等中三边对应相等的情况.
阅读教材P36-37页“利用尺规作图画一个角等于已知角”，体会尺规作图，小组讨论完成P37页练习题.
用尺规作图作一个角等于已知角的依据是“三边对应相等的两个三角形全等”，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明.
活动1 学生独立完成
例1 如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌△ADC.
证明：在△ABC与△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
例2 如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
求证：△ACD≌△CBE.
证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB.在△ACD与△CBE中，∵AD=CE，CD=BE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE(SSS).
注意运用SSS证三角形全等时证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件.
例3 如图，AB=AD，DC=BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
解：结论：∠B＝∠D.
理由如下：连结AC，
在△ADC与△ABC中，
∵AD=AB，AC=AC，DC=BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠B＝∠D.
要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明.
活动2 跟踪训练
1.如图，AD＝BC，AC＝BD.求证：[来源:Z。xx。k.Com]
(1)∠DAB＝∠CBA;
(2)∠ACD＝∠BDC.
证明：(1)在△DAB与△CBA中，
∵AD=BC，DB=CA，AB=BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
(2)同理可证得△DAC≌△CBD，
∴∠ACD＝∠BDC.
2.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)AB∥DE.[来源:学科网ZXXK]
证明：(1)∵BE=CF，∴BE+CE=CF+EC.∴BC=FE.在△ABC与△DEF中，∵AB=DE，AC＝DF，BC=FE，∴△ABC≌△DEF.(2)∵△ABC≌△DEF(已证),∴∠B=∠DEF.∴AB∥DE.
1.三角形全等的判定与性质的应用经常交替使用.[来源:Z+xx+k.Com]
2.注意线段和在证段线相等中的应用.
活动3 课堂小结
1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
2.添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
第2课时 三角形全等的判定（二）（SAS）
1.理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”.理解满足“边边角”的两个三角形不一定全等.
2.能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
阅读教材P37-39页“探究3及例2”，掌握三角形全等的判定条件SAS，进一步掌握证明格式，学生独立完成下列问题：
自学反馈
(1)如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是(D)
A.∠A＝∠D
B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C
D.∠ABD＝∠EBC[来源:Zxxk.Com]
(2)如图，AO=BO，CO=DO，AD与BC交于E，∠O＝40°，∠B＝25°，则∠BED的度数是(B)
A.60°
B.90°
C.75°
D.85°
(3)有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等.(填“一定”或“不一定”)
(4)已知：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB.求证：∠D＝∠B.
分析：要证∠D＝∠B，只要证△AOD≌△COB.
证明：在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△COB(SAS).
∴∠D＝∠B(对应角相等).
(5)已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：∠B＝∠C.
证明：在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C.
1.利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角；在书写证明过程时相等的角应写在中间；[来源:学科网ZXXK]
2.证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”、“公共角、公共边”等.
阅读教材P39页“思考”，明白有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，并会通过画图举反例，完成P39页练习题.
如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.
活动1 独立完成后小组内交流思路
例1已知：如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD∥BC.
[来源:Zxxk.Com]
证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1.
在△CDB与△ABD中，
∵CD=AB，∠2＝∠1，BD=DB，
∴△CDB≌△ABD.∴∠3＝∠4.
∴AD∥BC.
可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等.
例2如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论.
解：结论：AE=CD，AE⊥CD.
理由如下(提示)：可延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE＝∠BCD.又∠AEB＝∠CEF，可得∠CFE=90°，即AE⊥CD.
1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件；
2.线段的关系分数量与位置两种关系.
活动2 跟踪训练
1.已知：如图，AB＝AC，BE＝CD.求证：∠B＝∠C.
证明：略. [来源:Z§xx§k.Com]
2.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
证明：略.
分析已知条件，确定证三角形全等所缺少的条件，充分挖掘隐藏条件.
活动3 课堂小结[来源:学科网ZXXK]
1.利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等.
2.用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
第3课时 三角形全等的判定（三）（ASA，AAS）
1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等.
2.能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
阅读教材P39“探究4”和教材P40例3，理解和掌握全等三角形判定方法“ASA”，独立完成下列问题：
自学反馈
(1)能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)
A.AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B.AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E[来源:学*科*网]
C.∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D.∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
(2)阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C.那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由.
解：△AOD≌△COB.[来源:学科网ZXXK]
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA).
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
应用ASA证全等三角形时应注意边是对应角的夹边.[来源:Zxxk.Com]
阅读教材P40-41“例4”，理解和掌握全等三角形判定方法“AAS”，独立完成下列问题：
自学反馈
(1)如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是(B)
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
(2)AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是(C)
A.DE＝DF B.AE＝AF
C.BD＝CD D.∠ADE＝∠ADF
应用AAS证三角形全等时应注意边是对应角的对边.
阅读教材P41“思考”，试总结全等三角形判定方法，师生共同总结.
三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等).
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.求证：HN＝PM.
证明：∵MQ⊥PN，
∴∠MQP＝∠MQN=90°.
∵NR⊥MP，∴∠MRN＝90°.
∴∠RMH+∠RHM=∠QHN+∠QNH=90°.
又∵∠RHM＝∠QHN,∴∠PMQ＝∠QNH.
在△PMQ与△HNQ中，∵∠MQP＝∠MQN=90°，MQ=NQ，∠PMQ＝∠QNH，∴△PMQ≌△HNQ.∴HN＝PM.
有直角三角形就有互余的角，利用同角(等角)的余角相等是证角相等的常用方法.
例2 已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB.求证：AD＝AC.
证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC,
∴∠CAD＝∠BAE=90°.
∴∠CAD+∠BAD＝∠BAE+∠BAD.∴∠CAB＝∠DAE.[来源:学科网ZXXK]
在△ABC与△AED中,
∵∠CAB＝∠DAE，∠B＝∠E，CB＝DE,
∴△ABC≌△AED.∴AD＝AC.
利用角的和证角相等.
活动2 跟踪训练
1.已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.
∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝PB，只要证△PBM≌△PAN.
2.P41页练习1、2题.
善于挖掘隐藏条件“公共边、公共角、对顶角”等.
活动3 课堂小结
1.本节内容是已知两个角和一条边对应相等得全等，三个角对应相等不能确定全等.
2.三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用，有时还得反复用两次或两次以上，从而达到解决问题的目的.
[来源:学科网ZXXK]
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
第4课时 直角三角形全等的判定（四）（HL）
1.掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”).
2.能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等.
阅读教材P42“探究5及例5”，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL”，学生独立完成下列问题：
(1)判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是直角边，斜边.
(2)直角三角形全等的判定方法有HL(用简写).
自学反馈
(1)如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△DFE，全等的根据是HL.
(2)判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.
①一个锐角和这个角的对边对应相等；(AAS)
②一个锐角和这个角的邻边对应相等；(AAS或ASA)
③一个锐角和斜边对应相等；(AAS)
④两直角边对应相等；(SAS)
⑤一条直角边和斜边对应相等.(HL)
(3)下列说法正确的是(C)
A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.斜边相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D.一边长相等的两等腰直角三角形全等
直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”.
活动1 小组讨论[来源:学+科+网Z+X+X+K]
例1 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：
(1)AB＝DC;(2)AD∥BC.
证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABD与Rt△CDB中,∵AD=CB，BD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴AB=DC.
(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，
∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.
善于发现隐藏条件“公共边”.[来源:Z&xx&k.Com]
例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.
证明：连结CD.
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°.
在Rt△ADC与Rt△BCD中,∵AC=BD，DC=CD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD=BC.
一般三角形全等的证明方法对于特殊的直角三角形同样适用，同时要善于发现隐藏条件“对顶角相等”.[来源:学科网]
活动2 跟踪训练(小组合作完成后交流)
1.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC.求证：ED⊥AC.
证明：先证Rt△AED≌Rt△BAC(HL),∴∠E=∠CAB.∵∠E+∠EDA=90°,∴∠CAB+∠EDA=90°,∴∠DFA=90°.∴ED⊥AC.
2.已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.
证明：先证Rt△AED≌Rt△CFB，得AE=CF.∴AF=CE.再证Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCA.∴AB∥DC.
3.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？
解：需添加AC=DB或∠1＝∠2或∠E=∠F均可，理由依次为SAS、AAS、ASA.
具体方法要根据条件来选择，但要做到有依有据.
活动3 课堂小结
1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法.
2.证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
