课 题
第五单元 数学广角——鸽巢问题（1）
教学目标
知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，猜测、实验、观察、推理、比较、归纳等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点
理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点
理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”
课时安排
1
授课时间
教 学 过 程 设 计
批注
创设情境，导入新知
出示一副扑克牌。今天老师要给大家表演一个“魔术”。取出大王和小王，还剩下52张牌，下面请5位同学上来，每人随意抽一张，不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗？5位同学上台，抽牌，亮牌，统计。为什么会出现这种情况呢？学习了本节课的内容，你就知道这是为什么了？
二、合作交流，探究新知
（一）．教学引例。
（1）问题：把3支铅笔放到2个铅笔盒里，有哪些放法？请同桌二人为一组动手试一试。一人放，一人记录有哪些放法？
（2）提问：谁来说一说结果？你是怎么放的？
预设：一个放3支，另一个不放；一个放2支，另一个放1支。
（3）提问：“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗？
（4）提问：这句话里“总有”是什么意思？
预设：一定有。
（5）提问：这句话里“至少有2支”是什么意思？
预设：最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上。
（二）、教学例1
思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。
(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
(3)探究证明。 X k B 1 . c o m
方法一：用“枚举法”证明。
（1）谁来展示一下你摆放的情况？
（2）还有不同的放法吗？
（3）我们看这几种不同的放法，每种放法里，放的铅笔最多的枝数分别是4、2、3（师重点画出），也就是至少有（2枝），也就是说：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。）
方法二：用“分解数法”证明。
当我们手里没有4支铅笔和3个笔筒时，就没办法像上面这样动手操作，逐一枚举，那我们能否把4枝铅笔看成是数字4，把3个笔筒里的铅笔的数量看成是要分解成的3个数？4和这三个数有什么关系？（意思就是：4可以分解成哪三个数的和？）请同学们分一分
同样可知，把4分解成3个数，与枚举法一样，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。也就是说：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。
方法三：用“平均分法”证明。
（1）刚才我们通过枚举法和分解法，都得出了4种情况，得出了同样的结论：不管怎么放，怎么分，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。当笔的枝数很多的时候，以上两种方法操作起来方便吗？那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？想一想，可以小组内交流一下。
（2）哪一组同学愿意把你们组的想法说一说？（引导学生得出：我们发现如果每个笔筒里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。
（3）这种分法，实际就是先怎么分的？（平均分）
（4）以上三种方法有什么优缺点？
（三）变式思考。
1.把6枝铅笔放进5个笔筒里，不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进了2枝铅笔.为什么？
2.把7枝笔放进6个笔筒里呢？把9枝笔放进8个笔筒里呢？把1000枝笔放进999个笔筒呢？……
（3）你发现什么？
引导学生得出“只要笔的枝数比铅笔筒数多1，总有一个笔筒里至少有2枝笔”。
（4）要是笔的枝数比笔筒数多2枝，结果又会怎样？比如：把5枝笔放进3个笔筒，总有一个笔筒里至少有多少枝笔？你是怎么想的？动手放一放。
如果每个笔筒放（ ）枝笔，共放了（ ）枝笔。剩下的2枝笔应该怎么放？
（5）上面各个问题，我们都采用了什么方法？
引导学生通过观察比较得出“平均分”的方法。
（（6）练习教材第68页“做一做”第1、2题（进一步练习“平均分”的方法）
5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？你用的什么方法？
（7）教师：现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果，你能来说一说这个魔术的道理吗？
引导学生分析“如果4人选中了4种不同的花色，剩下的1人不管选那种花色，总会和其他4人里的一人相同。总有一种花色，至少有2人选”。
（四）、认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在例1里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。变式（1）中什么相当于鸽子？什么相当于鸽巢？（2）中把6枝笔放进5个笔筒里呢？
鸽巢原理（一）：有n+b (0＜b（五）、教学例2
1.例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？
（1）学生先独立思考，（2）然后再小组探究，让学生提出不同解法。（3）学生汇报.（放一放的方法：把7本书先平均放在3个抽屉里，每个抽屉放 本，剩 本 ，然后怎么放？
平均分法可以用算式表示：7÷3=2……1 至少数=2+1，所以， 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；
2．变式思考。
（1）把8本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
（2）把10本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
（3）把12本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
教师根据学生的回答板书：
8÷3=2……2 至少数=2+1， 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；
10÷3=3……1 至少数=3+1， 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本；
12÷3=3 至少数=3， 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；
教师：观察上述算式和结论，你发现了什么？
引导学生得出“物体数÷鸽巢数=商数……余数”
不能整除时：“至少数=商数+1”
整除时：“至少数=商数”
鸽巢原理（二）：有kn+b (0≤b（1）当b=0时，总有一个笔筒里至少有 枝笔；
（2）当b≠0时，总有一个笔筒里至少有 枝笔.
3.比一比、赛一赛：
（1）把25只小兔子关在5个笼子里，至少有几只兔子要关在同一个笼子里?
（2）我班男生有30人，至少有（ ）名男生的生日是在同一个月。
（3）任意40人中，总有至少几个人的属相相同？
5．经过以上的探索研究，我们经历了猜测、实验、观察、推理、比较、归纳等学习过程，这是一个很不简单的思维过程，个个都是了不起的数学家。“ 鸽巢问题”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢问题”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
三、巩固新知，拓展应用
1.完成教材第69页的“做一做”。 学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
2.大风车幼儿园大班有25名小朋友，班里有60剑玩具。若把这些玩具全部分给班里的小朋友玩，是否会有人得到3件或3件以上的玩具。
3.李叔叔参加飞镖比赛，投了6镖，成绩是49环。张叔叔至少有一镖不低于多少环？
4.回归生活：你还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活中的例子吗？
四、课堂总结
1、通过今天的学习你有什么收获？ 数学知识：1.鸽巢问题；2. “物体数÷抽屉数=商数……余数”
不能整除时：“至少数=商数+1”；整除时：“至少数=商数”
数学方法：1.枚举法；2.数的分解法；3.平均分法
数学思想：1.数形结合；2.数学建模
五、作业
完成教材第71页练习十三的1-2题。
教学反思：
