全等三角形考前训练题（二）
1 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
2 (2010重庆市潼南县) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
3如图5，在中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点。如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动时保持AN＝BM，请判断ΔOMN的形状，并证明你的结论。
图3
4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问：
（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。
5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。
（1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。
（2）若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。
6、如图6，已知E是正方形ABCD的边AB的中点，∠B的外角∠CBG的平分线BF交DE的垂线EF于F。
（1）DE与EF是什么关系？（不用证明）
（2）若E为AB上的任意一点（点A、B除外），结论（1）还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由。
图6
7如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F
分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P .
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论 .
8、（2010年赤峰市中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF
∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线.
9、(2010年三亚市月考)如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。
证明：BE=AG ；
点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由.
10、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E ，已知DC=2，求BE的长。
11、如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点B、D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。请说明理由。
12、将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。
（1）求证：AB⊥ED。
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。
1解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
2解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
在△ABE和△DAF中
∴△ABE≌△DAF-----------------------4分
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴∠1+∠4=900
∵∠3=∠4
∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=900----------------------------6分
在正方形ABCD中， AD∥BC
∴∠1=∠AGB=300
在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2
∴AF= DF =1----------------------------------------8分
由(1)得△ABE≌△ADF
∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE= ------------------------10分
3解：证明ΔOMN是等腰直角三角形。
证明如下：连结OA
∵AC＝AB，∠BAC＝90°，O为BC的中点
∴∠1＝∠2＝∠B＝∠C＝45°
∠4＋∠5＝90°，OB＝OA
又∵AN＝BM，
∴NO＝MO，∠3＝∠5
∴∠3＋∠4＝90°，即∠MON＝90°
∴ΔOMN是等腰直角三角形
4、（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。
5、（1）△ACE和△BDF的对应角相等；（2）略
解：（1）DE＝EF
（2）结论（1）DE＝EF能成立。
证明：如图
在AD上取一点H，使AH＝AE，连接EH，易证∠DHE＝∠EBF＝135°，DH＝BE
又∵∠1＝90°－∠AED
∠2＝90°－∠AED
∴∠1＝∠2
∴DE＝EF
7、（1）∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，
∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF；
（2）猜想∠BPF=120° .
∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF .
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120
8、证明∵AB=BC，BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF=∠CBF，又∵BF=BF， ∴△ABF≌△CBF。∴AF=CF。∴∠ACF=∠CAF.
又∵AF∥DC，∴∠ACF=∠ACD。
∴CA是∠DCF的平分线。
9、解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2 ………………………2分
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2
∴△GAB≌△EBC (ASA) …………4分
∴AG=BE ………………………… 5分
（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB
理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,
由（1）可知，AG=BE ∴AG=AE
∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°
又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS)
∴∠AGF=∠AEF
由（1）知，△GAB≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,
∴∠AEF=∠CEB
10、解：∵∠ABC=∠BAC=45º
∴∠ACB=90º
又∵AD⊥CP，BE⊥CP
∴BE∥AD
又∵∠1+∠2=90-∠3
∠α=∠2+∠4
2∠2+∠4=90-∠3
又∵2（45°-∠4）=2∠2
∴90-2∠2+∠4=90-∠3
∴∠4=∠3
又∵AC=BC; ∠ADC=∠BEC
∴△ADC△≌CEB
DC=2
11、答案：理由：∵AB⊥BF, ED⊥BF
∴∠ABC=∠EDC=900
又∵A、C、E三点在一条直线上
∴∠ACB=∠ECD
又∵BC=DC
∴⊿ABC≌⊿EDC
∴AB=DE
12、（1）由已知得Rt⊿ABC≌Rt⊿DEF ∴∠A=∠D
∵AC⊥BD ∴∠ACD=900
又∠DNC=∠ANP ∴∠APN=900
∴AB⊥ED
（2）⊿ABC≌⊿DBP
证明：由（1）得∠A=∠D，∠BPD=∠ACB=900，
又PB=BC
∴⊿ABC≌⊿DBP
