教学时间
课题
23.2 中心对称(1)
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．
过 程
和
方 法
复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．
情 感
态 度
价值观
让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
教学重点
利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．
教学难点
从一般旋转中导入中心对称．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、复习引入
请同学们独立完成下题．
如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．
老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．
作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；
（2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD；
（3）分别截取OE=OB，OF=OC；
（4）依次连结DE、EF、FD；
即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示．
二、探索新知
问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：
1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．
/
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．
/
分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．
（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．
解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD
（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D
（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．
/
答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．
（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．
例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．
分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．
解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）
（2）连结A′B′、A′C′．
则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．
三、巩固练习
教材P64 练习1．
四、应用拓展
例3．如图，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．
（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．
（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．
分析：（1）∵BC=4，AC=4
∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1
（2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x
解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC
∴BC′=C′D=1
∴S△BDC`=/×1×1=/
（2）∵CC′=x，∴BC′=4-x
∵AC=BC=4
∴DC′=4-x
∴S△BDC`=/（4-x）（4-x）=/x2-4x+8
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．中心对称及对称中心的概念；
2．关于中心的对称点的概念及其运用．
作业
设计
必做
教材P67： 1．
选做
教
学
反
思
教学时间
课题
23.2 中心对称(2)
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．
过 程
和
方 法
复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．
情 感
态 度
价值观
让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
教学重点
中心对称的两条基本性质及其运用．
教学难点
让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、复习引入
（老师口问，学生口答）
1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？
2．什么叫关于中心的对称点？
3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．
（每组推荐一人上台陈述，老师点评）
（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形
（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；
（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．
第一步，画出△ABC．
第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示．
/
(1) (2)
从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．
下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．
证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，
OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点．
同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．
因此，我们就得到
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形．
例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．
/
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
/
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．
（3）顺次连结DE、EF、FD．
则△DEF即为所求的三角形．
例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
/
二、巩固练习
教材P64： 练习2．
三、应用拓展
例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．
/
分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．
解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B的位置，则△AOC≌△AO′B．
/
∴AO=AO′，OC=O′B
又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形．
∴AO=OO′
在△BOO′中，OO′+OB>BO′
即OA+OB>OC
四、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课应掌握：
中心对称的两条基本性质：
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
作业
设计
必做
P68：6、7
选做
P68：8．
教
学
反
思
教学时间
课题
23.2 中心对称(3)
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
过 程
和
方 法
复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．
情 感
态 度
价值观
从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．
教学重点
中心对称图形的有关概念及其它们的运用．
教学难点
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、复习引入
1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？
（老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
关于中心对称的两个图形是全等图形．
2．（学生活动）作图题．
（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．
/
（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．
/
（2）延长AO使OC=AO，
延长BO使OD=BO，
连结CD
则△COD为所求的，如图所示．
/
二、探索新知
从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．
上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．
∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB=CD
也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．
因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．
老师点评：老师边提问学生边解答．
（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？
老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．
例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
/
分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．
证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．
三、巩固练习
教材P66 练习．
四、应用拓展
例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．
分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积．
解：连接AF，
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC．
∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4
设CF=x，则AF=x，BF=4-x，
/ 由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52
∴AC=5，OC=/AC=/
∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2
∴x=/
∵∠FOC=90°
∴OF2=FC2-OC2=（/）2-（/）2=（/）2 OF=/
同理OE=/，即EF=OE+OF=/
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．中心对称图形的有关概念；
2．应用中心对称图形解决有关问题．
作业
设计
必做
教材P68：2
选做
教材P68 综合运用5
教
学
反
思
