21．3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题和平均变化率问题
教学目标
能根据题意找出题目中相等的数量关系，会列出一元二次方程解决涉及传播、平均变化率等生活化的代数类应用题．
教学重点
会用列一元二次方程的方法解决生活中的代数类应用题．
教学难点
通过分析实际问题中蕴含的数量关系，构建一元二次方程模型．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
某超市今年七月份的销售额为a元，计划八月份的销售额比七月份增长10%，九月份的销售额比八月份增长10%，如果九月份的销售额是121万元，则七月份销售额是多少？
学生思考回答：
归纳导入：根据题意可列方程a(1＋10%)2＝121，同一元一次方程、二元一次方程组等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．本节我们将探究如何利用一元二次方程分析解决实际问题．
二、自主学习 指向目标
1．自学教材第19至20页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 与“传播问题”有关的问题
活动一：出示教材第19页探究1，相互交流思考下面的问题：
(1)你从哪些关键词中发现建立什么模型解决该题？题目中有什么数量关系？
(2)怎样设未知数？根据什么列方程？
【展示点评】举例：如果每轮传染中，平均每人传染5人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了5人，第一轮传染后共有6人患流感；第二轮传染中又传染了30人，第二轮传染后共有36人患流感；类比：如果每轮传染中，平均每人传染x人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了x人，第一轮传染后共有(x＋1)人患流感；第二轮传染中又传染了x(x＋1)人，第二轮传染后共有(x＋1)2人患流感．建模：设每轮传染中，平均每人传染x人，得(x＋1)2＝121解方程，得：x1＝10，x2＝－12.
【小组讨论】如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有多少人患流感？
【反思小结】这里的一轮指一个传染周期．例如，开始有一人(不妨记为a)患流感，第一轮中a传染给b，c，d，这时有a，b，c，d共4人患流感；第二轮中这4人每人又传染给3人，这时患流感者总数为3×4＋4＝16(人)，第三轮传染后患流感人数为121×10＋121＝1331.
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 与“平均变化率”有关的问题
活动二：出示教材第19页探究2，相互交流思考下面的问题：
(1)你从哪些关键词中发现建立什么模型解决该题？题目中有什么数量关系？
(2)怎样设未知数？根据什么列方程？
(3)解决“乙种药品成本的年平均下降率是多少？”这一问题．
(4)经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【展示点评】列方程的根据是：下降前的药品成本×(1－下降幅度 )＝下降后的药品成本，这是一个一元二次方程；设乙种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得，6000(1－x)2＝3600，解得x1≈0.225，x2≈1.775.根据实际意义，乙种药品的年平均下降率为22.5%，与甲相同；变化额度、变化率都进行比较才能全面地比较对象的变化状况．
【小组讨论】怎样解决与平均变化率有关的问题？如何表示它们之间的数量关系？
【反思小结】平均变化率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)2次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)2＝b.其中增长取“＋”，降低取“－”．注意，这类问题通常用直接开平方法解方程．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
列一元二次方程解决与传播、平均变化率有关的数学问题的基本步骤：实际问题数学问题构建模型计算求解．
五、达标检测 反思目标
1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送了182件．如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( B )
A．x(x＋1)＝182 B．x(x－1)＝182
C．2x(x＋1)＝182 D．x(x－1)＝182×2
2．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( B )
A．50(1＋x)2＝182 B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
C．50(1＋2x)＝182 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182
3．某工厂2015年年初投资100万元生产某种新产品，2015年年底将获得的利润与年初的投资之和作为2016年年初的投资，到2016年年底，两年共获利润56万元，已知2016年的年利润率比2015年的年利润率多10个百分点，求2016年的年利润率是多少？
【答案】 30%，设2013年利润率x，根据题意得，100x＋(100x＋100)(x＋10%)＝56，解得x＝20%，2014年年利润率20%＋10%＝30%.
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第22页第4，6，7题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思__
第2课时 图形面积问题和利润问题
教学目标
1．会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题．
2．能够在复杂的销售活动过程中，找出等量关系并列一元二次方程求解．
教学重点
实际问题中等量关系的确定．
教学难点
通过分析图形面积之间的等量关系以及商品销售过程中的数量关系建立一元二次方程的数学模型．
)
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
学生思考回答：
归纳导入：根据题意可列方程(27－2x)(21－2x)＝1,4×27×21；一元二次方程也可以解决几何图形的面积问题，本节我们将探究如何利用几何图形的面积公式构建一元二次方程分析解决实际问题．
二、自主学习 指向目标
1．自学教材第20至21页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 与图形面积有关的问题
活动一：出示教材第20页探究3，相互交流思考下面的问题：
(1)题目中有什么数量关系？怎样设未知数？根据什么列方程？
(2)为什么说上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是9∶7?
(3)对于方程(27－18x)(21－14x)＝3,4×27×21，如何求解较为简单？
(4)问题中隐含着怎样的不等关系？
【展示点评】中央的长方形所占面积是封面面积的四分之三为题中存在的等量关系；封面、中央长方形的长宽比均为9∶7，根据比例性质上、下边衬与左、右边衬的宽度之比也是9∶7；方程(27－18x)(21－14x)＝3,4×27×21用公式法解较为简单；问题中隐含不等关系x＜3.
【小组讨论】除了教材中的解法还有其他解法吗？
【反思小结】教材运用的是面积较好表达的中央长方形的面积占封面面积的3,4列方程求解的，体现了转化的思想，值得同学们注意．另外，直接由中央长方形的长宽比也为9∶7列方程求解，如果设中央长方形的长、宽分别为9x cm、7x cm，列方程显得更为简单．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 与利润有关的问题
活动二：[数学建模]为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，其售价不能超过进价的200%，请你用所学知识帮助超市给品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
(1)题目中有什么数量关系？怎样设未知数？根据什么列方程？
(2)问题中隐含了怎样的不等关系？
(3)学生试做．
【展示点评】由于每天的利润是800元，根据利润＝(售价－进价)×销售量列出方程求解．值得注意的是一定要结合题意对方程的根进行取舍．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
列一元二次方程解决图形面积和利润问题的基本步骤：实际问题数学问题构建模型计算求解．
五、达标检测 反思目标
1．有一个三角形的面积为25 cm2，其中一边比这一边上的高的3倍多5 cm，那么这一边的长是__15__cm，高是__10,3__cm.
2．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的两根，则三角形的周长为__13__．
3．要用一条铁丝围成一个面积为120 cm2的长方形，并使长比宽多2 cm，则长方形的长是__12__cm__．
4．如图，长方形ABCD，AB＝15 m，BC＝20 m，四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246 m2，求小路的宽度．
解：设小路宽x m，则(20＋2x)(15＋2x)＝246＋15×20
∴x1＝3，x2＝－41,2(舍去)
答：小路的宽为3m.
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第22页8，9题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思__
