2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3 正多边形和圆
一、选择题（共15小题）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B．2，π C．， D．2，
3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
8．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（ ）
A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE
11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm
12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）
A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：
14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
15．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）
二、填空题（共14小题）
16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 cm．
17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有 个．
18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 cm．
19．圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为 cm2．
20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．
21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为 ．
22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 ．
23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于 ．
25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为 ．
27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为 ．
28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．
29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（ ， ）．
三、解答题（共1小题）
30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．
2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3 正多边形和圆
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B．2，π C．， D．2，
【考点】正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆；勾股定理；概率公式．菁优网版权所有
【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN=，
∴AE=，同理可得：AC=，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．
4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC•AD，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=BC•AD=×2×3=3；
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】压轴题；规律型．
【分析】连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．
【解答】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．
故选D．
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．
7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【考点】正多边形和圆；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得OA=2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．
8．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．
【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，
∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，
∴=5．
故选C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍是解答此题的关键．
9．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
【解答】解：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为a， a，
∴S空白=a•a=a2，
∵AB=a，
∴OC=a，
∴S正六边形=6×a•a=a2，
∴S阴影=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，
∴==5，
法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．
10．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（ ）
A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE
【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF•CE．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，
∴四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
故A选项正确；
∵四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
设AC与BF交于点O，
由勾股定理得OB2+OC2=BC2，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
∴AC2+BF2=4CD2．
故C选项正确；
由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，
∴∠DCE=∠EDF，
∴△CDE∽△DFE，
∴=，
∴DE2=EF•CE，
故D选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．
11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm
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【专题】计算题．
【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．
【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，
则OB=12，
∴BD=OB•sin30°=12×=6，
则BC=2×6=12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
故选A．
【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．
12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
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【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）
A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：
【考点】正多边形和圆；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．
【解答】解：如图1，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=1，
由勾股定理得：OD==，
∴扇形的面积是=π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=1，
∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．
14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
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【专题】压轴题．
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
15．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）
【考点】正多边形和圆；坐标确定位置．菁优网版权所有
【专题】新定义．
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=2，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
二、填空题（共14小题）
16．（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 2 cm．
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【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，
解得：AO=2．．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有 8 个．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．
【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．
故答案是：8．
【点评】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．
18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 2 cm．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴边长为2cm，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．
19．（2015•营口）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为 24 cm2．
【考点】正多边形和圆．菁
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