第二十二章自主检测
(满分：120分 时间：100分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列函数中，不是二次函数的是( )
A．y＝1－x2 B．y＝2(x－1)2＋4
C.(x－1)(x＋4) D．y＝(x－2)2－x2
2．把二次函数y＝－x2－x＋3用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式( )
A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝(x－2)2＋4
C．y＝－(x＋2)2＋4 D．y＝2＋3
3．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是( )
A．与x轴有两个交点
B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是(0,3)
D．顶点坐标是(1，－2)
4．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图221，则m的值是( )
A．－8 B．8 C．±8 D．6
图221 图222
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图222，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
A．有最小值－5、最大值0
B．有最小值－3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )
A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1
C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图223，下列结论正确的是( )
A．a<0 B．b2－4ac<0
C．当－10 D．－＝1
图223 图224
8．如图224，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∠OBC＝45°，则下列各式成立的是( )
A．b－c－1＝0 B．b＋c－1＝0
C．b－c＋1＝0 D．b＋c＋1＝0
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧．以上正确的说法的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是( )
A B C D
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
12．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
13．抛物线y＝－2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是____________．
14．如图225，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，则二次函数的图象的顶点坐标是________．
图225 图226
15．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图226，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第___________象限．
16．如图227，在正方形ABCD中，E为BC边上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是__________．
图227
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
17．求经过A(1,4)，B(－2,1)两点，对称轴为x＝－1的抛物线的解析式．
18．已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象交于点A(－1，m)．
(1)求m，c的值；
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
19．用12米长的木料，做成如图228的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？
图228
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20．如图229，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5,4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
图229
21．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图2210，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
图2210
22．已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)．
(1)确定此抛物线的解析式；
(2)当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，，(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.
(1)求抛物线C的解析式；
(2)判断抛物线C与直线l有无交点；
(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．
24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速/km·h－1
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象；
(2)观察图象．估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
25．已知，如图2211抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图2211
第二十二章自主检测
1．D 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D
8．D 解析：∵∠OBC＝45°，∴|OC|＝|OB|，B点坐标为(c,0)，把(c,0)代入y＝x2＋bx＋c，得c2＋bc＋c＝0，即c＋b＋1＝0.
9．C 解析：由a>0知①正确，又∵－<0，<0，∴顶点在第三象限，故②不正确；∵b2－4ac>0，且对称轴在y轴左侧，故图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧，∴①③正确．
10．C
11．－5 12.4
13．y＝－2x2－4x＋5 14.(2，－1) 15.四
16．y＝－x2＋4x 解析：S△AEF＝S正方形ABCD－S△ABE－S△ADF－S△ECF，即y＝16－2××4×(4－x)－x2，即y＝－x2＋4x.
17．解：∵对称轴为x＝－1，
∴设其解析式为y＝a(x＋1)2＋k(a≠0)．
∵抛物线过A(1,4)，B(－2,1)，
∴解得
∴y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1.
18．解：(1)∵点A在函数y＝的图象上，
∴m＝＝－5.
∴点A坐标为(－1，－5)．
∵点A在二次函数图象上，
∴－1－2＋c＝－5，即c＝－2.
(2)∵二次函数的解析式为y＝－x2＋2x－2，
∴y＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1.
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．
19．解：设窗框长为x米，则宽为＝(4－x)米，矩形窗框的面积为y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.
∵a＝－1<0，∴当x＝2时，y最大值＝4，此时4－x＝2.
即当长宽各2米时，矩形窗框的面积最大，最大面积是4平方米．
20．解：(1)a＝1，P.
(2)答案不唯一，满足题意即可．如向上平移个单位长度后，再向左平移3个单位长度等．
21．解：建立如图D85所示的平面直角坐标系，则B(2，－4.4)．
图D85
设抛物线的解析式为y＝ax2.
∵抛物线过点B，
∴－4.4＝a·22.∴a＝－1.1.
∴y＝－1.1x2.
当x＝1.2时，y＝－1.1×1.22＝－1.584，|y|＝1.584.
∴4.4－1.584＝2.816>2.8.
∴汽车能顺利通过大门．
22．解：(1)由抛物线过(0，－3)，得－3＝|a|－4，
|a|＝1，即a＝±1.
∵抛物线开口向上，∴a＝1.
故抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴当x＝1时，y有最小值－4.
23．解：(1)把(－5,0)，，(1,6)分别代入抛物线，解得a＝，b＝3，c＝，∴y＝x2＋3x＋.
(2)令x2＋3x＋＝2x－3，整理后，得x2＋x＋＝0，∵Δ<0，∴抛物线与直线无交点．
(3)令x2＋3x＋＝2x＋m，整理后，得x2＋x＋－m＝0.由Δ＝12－4××＝0，解得m＝2，求得点P的坐标为(－1,0)．
24．解：(1)图略．
(2)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将表中前三组数据代入，得解得
∴所求函数关系式为y＝0.002x2＋0.01x(0≤x≤140)．
(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5.
整理，得x2＋5x－23 250＝0.
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)．
∴推测刹车时的速度为150 km/h.
因为150>140，所以事故发生时汽车超速行驶．
25．解：(1)∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)．
把点B，C的坐标代入y＝ax2＋3ax＋c，得
解得
∴y＝x2＋x－3.
(2)如图D86.过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N.
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝＋×DM×(AN＋ON)
＝＋2DM，
∵A(－4,0)，C(0，－3)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
代入，求得y＝－x－3.
令D，M，
DM＝－x－3－
＝－(x＋2)2＋3，
当x＝－2时，DM有最大值3.
此时四边形ABCD面积有最大值为.
图D86 图D87
(3)如图D87，讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C(0，－3)，令x2＋x－3＝－3，
∴x＝0或x＝－3.∴P1(－3，－3)．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C(0，－3)，
∴可令P(x,3)，由x2＋x－3＝3，得x2＋3x－8＝0.
解得x＝或x＝.
此时存在点P2和P3.
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－3，－3)，P2，P3.
