1.二次函数定义补充
一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①；②； ③；④；⑤； ⑥； ⑦； ⑧。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数是关于的二次函数，则的取值范围为 。
4、已知函数是二次函数，则＝ 。
5、若函数是关于的二次函数，则的值为 。
6、已知函数是二次函数，求的值。
二、列二次函数的解析式（一定要写出自变量的取值范围）
A
1、某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为米，广告牌的面积为S 平方米。广告牌的面积S与的函数关系式为 。
2、如图（1），正方形ABCD的边长为16㎝，P是AB上任意一点（不与A、B重合），QP⊥DP，，设AP＝㎝，BQ＝㎝，与的函数关系式为 。
3、如图（2），正方形ABCD的边长为4，P是BC上的一动点，若QP⊥AP，交DC于Q，设PB＝，
△ADQ的面积为， 与的函数关系式为 .
4、如图（3），△ABC是等腰三角形铁板余料，其中AB＝AC＝20㎝，BC＝24㎝，若△ABC上截出一矩形零件DEFG，使EF在边BC上，点D、G分别在AB、AC上，（1）设EF＝㎝，S矩形DEFG＝㎝2，试写出与的函数关系式；（2）问截得的矩形DEFG的长、宽为何值时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半？
5、某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，
（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车；
（2）设每辆车的月租金定为（≥3000）元，用含的代数式填表格：
未租出的车辆数
租出的车辆数
所有未租出的车辆每月的维护费
租出的车每辆的月收益
（3）写出该公司的月收益（元）与之间的函数关系式。
6、某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经实验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件。按每件25元销售时，每月能卖210件。假定每月销售的件数（件）是价格（元/件）的一次函数，（1）试写出与的函数关系式；（2）如果以每件元销售时，每月可获利润为ω元，试写出ω与的函数关系式；它是二次函数吗？
B
7、某化工材料经销公司购进了一批化工原材料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元/千克时，日均销售60千克；单价每降低1元，每天多销售2千克，在销售过程中，每天还需支出各种费用500元（天数不足1天按1天计算）。设销售单价为元/千克，日均获利为元，求与之间的函数关系式。
8、已知扇形的周长为20㎝，半径为㎝，写出扇形的面积S与半径之间的函数关系式。
9、如图，△ABC，∠B＝900，AB＝6㎝，AC＝10㎝，点P从A点开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动。
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，试求经过t秒后，△PBQ的面积与时间t的函数关系式；
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，假设P点运动时间为t秒，试求△PCQ的面积与时间t的函数关系式。
10、如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，截取AE＝BF＝DG＝x.已知AB＝6，CD＝3，AD＝4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.
11、某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品， 规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件.试销时，发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，如图所示.
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元， 试用销售单价表示毛利润S.
12、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌， 广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米.
(1)求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.
(2)为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)
13、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元， 在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售时为20万件;销售单价每增加10元， 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x元，销售量为y万件，获利(年获利＝年销售额－生产成本－投资)为z万元.
(1)试写出y与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)
(2)试写出z与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)
(3)计算销售单价为160元时的获利，并说明同样的获利，销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?
2.二次函数的图象与性质补充
二次函数的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。
二次函数的图象开口 ，当＞ 0时，随的增大而 ；当＜ 0时，随的增大而 ；当＝ 0时，函数有最 值是 。
二次函数的图象开口 ，当＞ 0时，随的增大而 ；当＜ 0时，随的增大而 ；当＝ 0时，函数有最 值是 。
已知点A（2，），B（4，）在二次函数的图象上，则 .
已知点A（－2，），B（4，）在二次函数的图象上，则 .
在函数中，其图象的对称轴是轴的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
抛物线不具有的性质是（ ）
A．开口向下； B．对称轴是轴；C．当＞ 0时，随的增大而减小； D．函数有最小值
抛物线共有的性质是（ ）
A．开口方向相同 B．开口大小相同 C．当＞ 0时，随的增大而增大 D．对称轴相同
已知抛物线经过点A（1，－4），求（1）＝4时的函数值；（2）＝－8时的的值。
已知抛物线的开口向下，则的值为 。
已知抛物线与直线有唯一交点，求k的值。
已知P（x，y）是抛物线第三象限内的一点，点A的坐标为（4，0），求OPA的面积S与x的函数关系式。
函数
a的符号
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
a＞0
向上
y轴(x＝0)
（0，0）
当x＜0时，
当x＞0时，
x＝0时，
y最小＝0
a＜0
向下
y轴(x＝0)
（0，0）
当x＜0时，
当x＞0时，
x＝0时，
y最大＝0
a＞0
向上
y轴(x＝0)
(0，k)
当x＜0时，
当x＞0时，
x＝0时，
y最小＝k
a＜0
向下
y轴(x＝0)
(0，k)
当x＜0时，
当x＞0时，
x＝0时，
y最大＝k
a＞0
向上
x＝h
(h，0)
当x＜h时，
当x＞h时，
x＝h时，
y最小＝0
a＜0
向下
x＝h
(h，0)
当x＜h时，
当x＞h时，
x＝h时，
y最大＝0
a＞0
向上
x＝h
(h，k)
当x＜h时，
当x＞h时，
x＝h时，
y最小＝k
a＜0
向下
x＝h
(h，k)
当x＜h时，
当x＞h时，
x＝h时，
y最大＝k
a＞0
向上
当x＜时，
当x＞时，
当时，
a＜0
向下
当x＜时，
当x＞时，
当时，
二次函数的性质
11.二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式，则最值为k；如果解析式为一般式则最值为）
抛物线经过坐标原点，则的值为 。
抛物线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .
抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( )
A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴
C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴
已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_______.
抛物线的对称轴是 。
若二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝ 。
当n＝________，m＝______时，函数y＝(m＋n)＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
已知二次函数，当a 时，该函数的最小值为０？
已知二次函数的最小值为１，那么＝ 。
(易错题)已知二次函数有最小值为０，则＝ 。
已知二次函数的最小值为3，则＝ 。
二次函数的增减性等
二次函数的增减性
二次函数，当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，函数有最 值是 。
已知函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；则＝1时，的值为 。
已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 .
已知二次函数的图象上有三点且，则的大小关系为 .
二次函数的平移
技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式，平移规律：k，正上负下，h ，正右负左.
抛物线向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式
为 。
抛物线， ，可以得到。
将抛物线向左平移２个单位，再向下平移３个单位，所得到的抛物线的关系式
为 。
如果将抛物线的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
将抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到
则a＝ ，b＝ ，c＝ .
将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为____ _.
函数的交点
抛物线与直线的交点坐标为 。
直线与抛物线的图象有 个交点。
函数的的对称
抛物线关于y轴对称的抛物线的关系式为 。
抛物线关于x轴对称的抛物线为，
则a= ,b= ,c= .
14. 函数的图象特征与a、b、c的关系
函数的图象特征与a、b、c的关系
技法：对于的图象特征与a、b、c的关系为：①抛物线开口由a定，上正下负；②对称轴位置a、b定，左同右异，b为0时是y轴； ③与y轴的交点由c 定，上正下负，c为0时过原点。
已知抛物线的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
Ａ. B.
C. D.
已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
抛物线中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①；② ③ ④ ⑤
⑥；其中正确的为（ ）
A．①② B．①④ C．①②⑥ D．①③⑤
当是一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )
如图所示，当b<0时，函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系内的图象可能是( )
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( )
A.a>0，b>0 B.a>0，c>0 C.b>0，c>0 D.a、b、c都小于0
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
在同一坐标系中，函数图象可能是图所示的( )
二次函数y＝ax2＋bx＋c， 图象如图所示，则反比例函数的图象的两个分支分别在第 象限。
反比例函数的图象在一、三象限，则二次函数的图象大致为图中的（ ）
反比例函数中，当时，随的增大而增大，则二次函数的图象大致为图中的（ ）
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号； ②当x＝1和x＝3时，函数值相同； ③4a＋b＝0;④当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C第三象限． D．第四象限
15.函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式，然后解三元方程组求解；
已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求解。
已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，该二次函数的解析式为 。
三、（选学）已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式。
二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
B
已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。
抛物线与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。
若抛物线的顶点坐标为（1，3），且与的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。
抛物线与x 轴交于（－1，0）、（3，0），则b＝ ，c＝ .
若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。
C
已知二次函数的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。
16.二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
技法一：实质就是y为0，变为一元二次方程。由的符号确定：当＞０时，抛物线与x轴有两个交点；当＝０时，抛物线与x轴有一个交点；当＜０时，抛物线与x轴没有交点。
技法二：与y轴的交点也叫在y轴上的截距（可以为负）；实质就是x为0时的函数值。对于一般式与y轴的交点坐标为（0，c）。
如果二次函数图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）
二次函数图象与x轴交点之间的距离为 。
抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( )A.6 B.4 C.3 D.1
已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于，则m的值为( )A.－2 B.12 C.24 D.48
已知抛物线的对称轴是x＝－1，它与x轴交点间的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的关系式是_____________.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的值永远为负值的条件是( )
A.a>0，b2－4ac<0 B.a<0，b2－4ac>0 C.a>0，b2－4ac>0 D.a<0，b2－4ac<0
若二次函数的图象全在x轴的下方，则的取值范围为 。
若二次函数y＝(m＋5)x2＋2(m＋1)x＋m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是_
已知抛物线，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数.
(1)求证:不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的关系式.
17.二次函数应用
(一）经济策略性
某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.
(1)试求Y与X的之间的关系式.
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）
有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。
（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。
（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？
某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。
求Y与X之间的函数关系式；
在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；
画出（2）中求出的函数图象草图，观察图象，指出销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？
某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表所示：
(1)求y与x的函数的关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)和x(十万元)的函数关系式?
(3)如果投入的年广告费为10万至30万元,问广告费在范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?
某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s 与t之间的关系）。
根据图象提供的信息，解答下列问题：
由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系式；
求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元；
求第8个月公司所获利润是多少万元？
启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量是10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的啊销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
项目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
1
试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元；
把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资额和预计年收益如下表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目。
18.压轴题
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合）交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S。
求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围；
求S取得最大值进点P的坐标；
设四边形OBMC 的面积S/,判断是否存在点P，使得S＝S/ ,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
已知，是边上的中线，分别以所在直线为轴，轴建立直角坐标系（如图）．
（1）在所在直线上找出一点，使四边形为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；
（2）求直线的函数关系式；
（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
如图，已知二次函数y=ax2＋bx＋c的象经过A(－1，0)、B(3
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