新人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形的面积课时练习
一、单选题（共15题）
1、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）
A．2π B．π C． D．
答案：B
知识点：弧长的计算； 圆周角定理； 圆内接四边形的性质
解析：解答：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°-135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长= =π．
故选B．
分析: 连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解
2. 如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（ ）
A．3π B． C． D．4π
答案：C
知识点: 弧长的计算； 勾股定理； 垂径定理．
解析：解答: ∵D为AC的中点，AC=AO=6，
∴OD⊥AC，
∴AD=AO，
∴∠AOD=30°，OD=
同理可得：∠BOE=30°，
∴∠DOE=150°-60°=90°
∴点D所经过路径长为：
故选C．
分析: 由垂径定理求得线段OD的长也就是点D所经过圆弧路径的半径，然后求得路径的圆心角，利用弧长的计算公式计算即可
3. 如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
答案：C
知识点: 弧长的计算； 平行四边形的性质； 旋转的性质．
解析：解答: 将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为2π cm．
故选：C．
分析: 将平行四边形旋转180°后，点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可
4. 如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（ ）
A．1π B．1.5π C．2π D．3π
答案:C
知识点: 弧长的计算； 等边三角形的性质．
解析：解答: ∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴弧DE的长为=2π，
故选C．
分析: 先由等边三角形的性质得出AB=AC=6，∠CAB=60°．再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=60°，然后根据弧长公式解答即可．
5. 如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，则的长是（ ）
A．2π B．π C． D．
答案:C
知识点: 弧长的计算； 圆周角定理．
解析：解答: ∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=2，
∴=故选：C．．
分析: 根据圆周角定理可得出∠AOB=60°，再根据弧长公式的计算即可．
6. 扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是（ ）
A．20πcm B．10πcm C．10cm D．20cm
答案:A
知识点: 弧长的计算
解析：解答: =20πcm．
故选A．
分析: 直接利用弧长公式计算即可．
7. 如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
答案:B
知识点: 弧长的计算； 切线的性质； 正多边形和圆．
解析：解答：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角= =108°；
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠OAB=∠OCB=108°-90°=18°，
∴∠AOC=144°
所以劣弧AC的长度为
故选B．
分析: 先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．
8. 如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为（ ）
A． B． C．π D．
答案:B
知识点: 弧长的计算； 正方形的性质．
解析：解答: 如图，连接AF、DF，
由圆的定义，AD=AF=DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理，弧DE的圆心角是30°，
∴弧EF的圆心角是90°-30°×2=30°，
∴
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以，图中阴影部分的外围周长=
故选B．
分析: 连接AF、DF，根据圆的定义判断出△ADF是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．
9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
答案:D
知识点: 扇形面积的计算； 垂径定理； 圆周角定理； 解直角三角形．
解析：解答: 连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE= CD=
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD=60π×22 ，即阴影部分的面积为
故选：D．
分析: 连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
10.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案:D
知识点: 扇形面积的计算
解析：解答: ∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=1
2
故选D．
分析: 由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式
11. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3π B．6π C．5π D．4π
答案:B
知识点: 扇形面积的计算； 旋转的性质．
解析：解答: 阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．
则阴影部分的面积是： =6π
故选B．
分析: 根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．即可求解．
12. 如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分
的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
答案:A
知识点: 扇形面积的计算
解析：解答: 连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=故选：A．
分析: 首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而
和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．
13. 一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．120° C．150° D．180°
答案:B
知识点: 弧长的计算
解析：解答：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：
解得：n=120°，
故选：B．
分析: 首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：，再解方程即可．
14. 如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A． B． C． D．
答案: B
知识点: 弧长的计算； 圆周角定理．
解析：解答：连接OB，OC．
∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
则劣弧BC的长是：
故选B．
分析: 连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
15. 如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
A． B． C．D．3a
答案:B
知识点: 弧长的计算．
解析：解答：∵四边形ABCD是边长为a正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=CB=AD=CD=a，
∴树叶形图案的周长=
故选B．
分析: 由图可知，阴影部分的周长是两个圆心角为90°、半径为a的扇形的弧长，可据此求出阴影部分的周长．
二、填空题（共5题）
1. 如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是_______
答案: 20°
知识点: 弧长的计算； 圆周角定理．
解析：解答: 连结OA、OB．设∠AOB=n°．
∵的长为2π，
∴n×π×9
∴n=40，
∴∠AOB=40°，
∴∠ACB= ∠AOB=20°．
故答案为20°．
分析: 连结OA、OB．先由的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB=40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB=∠AOB=20°．
2. 如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于( )
答案:
知识点: 弧长的计算； 等边三角形的判定与性质； 菱形的性质
解析：
解答: ∵菱形ABCD中，AB=BC，
又∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
∴弧BC的长是： 故答案是：
分析：本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一个圆上，得到△ABC是等边三角形是关键．
3. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为( )
答案:
知识点: 弧长的计算； 正多边形和圆
解析：解答: ∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°× =60°，
的长为
故答案为：
分析: 求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可
4、边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为( )cm．
答案：4π
知识点: 弧长的计算； 正方形的性质； 旋转的性质．
解析：解答：∵边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线是一段弧长，
是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是180°的弧长，
∴根据弧长公式可得：1180
故填空答案：4π．
分析: 由于边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线是一段弧长，是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是180°的弧长，根据弧长公式即可求得其长度．
5. 在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是( )（结果保留π）．
答案：
知识点: 弧长的计算； 旋转的性质．
解析：解答：∵AB=4，∴BC=2，
所以弧长=
分析: 将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是就是以点B为圆心，BC为半径所旋转的弧，根据弧长公式即可求得．
三、解答题（共5题）
1. 如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长
答案：12π
知识点: 弧长的计算； 旋转的性质．
解析：解答: 的长是：
以BO为半径的半圆的弧长是：10π．
则点O所经过的路线长为10π+2π=12π．
故答案是：12π．
分析: O点运动的路径是：旋转的路程=以BO为半径的半圆的弧长+平移的路线是
的长，计算即可．
2. 如图，⊙半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，求劣弧BC的长
答案：
知识点: 弧长的计算； 圆周角定理．
解析：解答：连接OB，OC，
则∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
故劣弧BC的长是
分析：连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
3. 如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，求点B转过的路径长.
答案：2π
知识点: 弧长的计算； 旋转的性质．
解析：解答：∵∠B=30°，AC=2
∴BA=4∠A=60°，
∴CB=6，
∵AC=A′C，
∴∠AA′C是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴弧长l=
故答案为：2π．
分析: 首先根据勾股定理计算出BC长，再根据等边三角形的判定和性质计算出∠ACA′=60°，进而可得∠BCB′=60°，然后再根据弧长公式可得答案．
4. 如图，矩形ABCD中，BC=2AB=4，AE平分∠BAD交边BC于点E，∠AEC的分线交AD于点F，以点D为圆心，DF为半径画圆弧交边CD于点G，求的长
答案：
知识点: 弧长的计算； 等腰直角三角形； 矩形的性质．
解析： 解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD交边BC于点E，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=2，AE=AB=2
∵∠AEC的分线交AD于点F，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE=2
∴DF=AD-AF=4-2
∴的长为：
故答案为
分析: 本题考查了矩形的性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，弧长的计算，求出DF=4-2是解题的关键．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，以B为圆心，BA为半径画弧交CB的延长线于点D，求的长
答案：
知识点: 弧长的计算．
解析：解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，∠ABC=90°-∠BAC=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=120°，
∴=
故答案为
分析: 先解Rt△ABC，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2BC=2，求出∠ABC=60°，那么∠ABD=120°，再根据弧长的计算公式即可求解．
