三角形全等的判定
一、选择题
1.如图，中，，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
2.如图，在和中，，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使，则还需增加的一个条件是（ ）
A.AC=BD B.AC=BC C.BE=CE D.AE=DE
3．如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．△ABD≌△ACD B．∠ADB=90°
C．∠BAD是∠B的一半 D．AD平分∠BAC
4. 如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )
A.120° B.125° C.127° D.104°
5. 如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC， 则下面的结论中不正确的是( )
A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D
6. 如图，AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点，且AE=CF,DE=BF,，那么图中全等三角形共有（ ）对
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
7. 如图 ，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（ ）.
A.AB∥DC B. ∠B＝∠D C. ∠A＝∠C D. AB=BC
8. 如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，
2x－1，若这两个三角形全等，则x等于（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题
9.（2011湖北十堰）工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，
∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺
两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C作射线OC。由做法得
△MOC≌△NOC的依据是________.
10．如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ ≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
11．如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=
12、如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是___________
13. 如图，AB=AC，BD=CD，∠B=20°，则∠C= °.
14．如图，若D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 ___________．
15．如图，已知OA = OB，AC = BC，∠1=30°，则∠ACB的度数是________．
16. 已知线段a、b、c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为______．
①分别以B、C为圆心，c、b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
③连结AB、AC，△ABC为所求作三角形．
17. 如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．
18. 如图， 中，，，，则________，__________．
三、解答题
19.（2009年怀化）如图, AD=BC, AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°
20．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
21．（2010浙江金华）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），
F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE
≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：
22. 如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请证明下列结论： ⑴∠D=∠B； ⑵AE∥CF．
23. 如图，已知AB=AE，BC=ED，AC=AD.
(1) ∠B＝∠E吗？为什么？
（2）若点F为CD的中点，那么AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由.
12.2 三角形全等的判定
第1课时 边边边（SSS）
一、选择题
1. B 2. A 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D 8.B
二、填空题
9. sss 10. （答案不惟一，也可以是）
11. 76 12. sss 13 .20 14. AB=AC 15. 60
16. ②①③ 17. EC, △ABF≌△DCE
18. F, ABE
三、解答题
19.证明：连结AC
∵AD=BC,AB=DC，ＡＣ＝ＣＡ
∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ
∴∠ＢＡＣ=∠ACD
∴ＡＢ∥ＣＤ
∴∠Ａ＋∠Ｄ＝180°
20. 解:连结OE
在△EAC和△EBC中
∴△EAC≌△EBC（SSS）
∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）
21. 解：（1）(或点D是线段BC的中点)，，中
任选一个即可﹒
（2）以为例进行证明：
∵CF∥BE，
∴∠FCD﹦∠EBD．
又∵，∠FDC﹦∠EDB，
∴△BDE≌△CDF．
22. 证明：（1）在△EAD和△FCB中
AD=CB，AE=CF，DE=BF
∴△EAD≌△FCB（SSS）
∴∠D＝∠B
（2）由（1）知：△EAD≌△FCB
∴∠DEA＝∠BFC
∵∠AEO=180-∠DEA,
∠CFO=180-∠BFC,
∴∠AEO＝∠CFO
∴ AE∥CF
23. 解：（1）∠B＝∠E
理由如下：在△ABC和△AED中
AB=AE，BC=ED，AC=AD.
∴△ABC≌△AED（SSS）
∴∠B＝∠E.
（2）AF垂直于CD.
理由如下：
∵点F是CD的中点，
∴CF=FD.
在△ACF和△ADF中
AC=CD，AF=AF，CF=DF
∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠AFC＝∠AFD.
又∵∠AFC+∠AFD=180
∴∠AFC＝∠AFD=90
∴AF垂直于CD.
12.2三角形全等的判定SAS（第2课时）
一、选择题
1. 如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
2. 能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（ ）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B. AB=A′B′， ∠A=∠A′，BC=B′C′
C. AC=A′C′， ∠A=∠A′，BC=B′C
D. AC=A′C′， ∠C=∠C′，BC=B′C
3. 如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( )
A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠A=∠C D. ∠ABC=∠CDA
4.（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．AC=DC，∠A=∠D
5.（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6.（2009·黄冈中考）在△ABC和中，∠C＝,b-a=,b+a=,则这两个三角形（ ）
A. 不一定全等 B.不全等
C. 全等，根据“ASA” D. 全等，根据“SAS”
7.（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB=AC B．∠BAC=90° C．BD=AC D．∠B=45°
8．（2012十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
二、填空题
9. 如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是 .
10. 如图，AC与BD相交于点O，若AO=BO，AC＝BD，∠DBA=30°，∠DAB=50°，
则∠CBO=
度.
11.(2011黑龙江鸡西)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE 的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件： ，
使得AC=DF.
12.（2009·怀化中考）如图，已知，，要使 ≌，可补充的条件是 （写出一个即可）．
13.（2005•天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则
∠BED= 度．
14. 如图，若AO=DO，只需补充 就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.
15. 如图，已知△ABC，BA=BC，BD平分∠ABC，若∠C=40°，则∠ABE为
度.
16.（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则
AE= cm．
17. 已知：如图，DC=EB，EC=BA，DC⊥AC， BA⊥AC，垂足分别是C、A，则
AE与DE的位置关系是 .
18. △ABC中，AB=6，AC=2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 .
三、解答题
19. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
20． 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．
21． 如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
22. 如图，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：△AFB≌△AEC．
23.（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
第2课时 边角边(SAS)
一、选择题
1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B
二、填空题
9. ∠CDA＝∠BDA 10. 20 11. AB=DE． 12. AE=AC（答案不唯一）；
13. 70 14. BO=CO 15. 80 16. 6 17. 垂直 18. 2 < AD < 4
三、解答题
19. 证明：∵AF＝DC，∴AC＝DF，
又∵∠A＝∠D ，
∴AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．
20. 证明：∵AB=DC
∴AC=DB
∵EA⊥AD，FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中
∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF．
21. 证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
22. 证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AF=AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AFB和△AEC中，
AB=AC，
∠A=∠A，
AE=AF，
∴△AFB≌△AEC．
23. 解：AE＝EF.
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC
又∵BH=BE
∴AH=CE
∵△BHE为等腰直角三角形.
∴∠H=45°
∵CF平分∠DCE
∴∠FCE=∠H=45°
∵AE⊥EF, ∠ABE=90°
∴∠BAE+∠BEH=∠BEH+∠FEM=90°
即：∠BAE=∠FEM
∴∠HAE＝∠CEF
在△HAE和△CEF中，
∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠CEF
∴△HAE≌△CEF，
∴AE＝EF.
三角形全等的判定
要点感知1 斜边和一条_______分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成_____或“_____”).
预习练习1-1 如图,∠B=∠E=90°,AB=DE,AC=DF,则△ABC≌△DEF的理由是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
要点感知2 直角三角形全等除“HL”外,还有SSS,SAS,ASA,AAS都适合.
预习练习2-1 下列命题：①两直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；④一锐角和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等.其中,正确的命题有_____.(填写正确的序号)
知识点1 用“HL”判定直角三角形全等
1.已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？
2.已知，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，求证：AD平分∠BAC.
3.如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，求证：AD=CF.
知识点2 直角三角形全等的判定方法的选用
4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
5.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.
(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；
选择一对你认为全等的三角形说明理由.
6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,则∠ACD的度数为( )
A.45° B.30° C.20° D.15°
7.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时,才能使△ABC≌△QPA.
8.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠3=_____.
9.如图,已知AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证：BC=AB+DC.
10.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.
11.如图所示,已知AB＝CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F，且BF=DE，求证：AB∥CD.
12.如图,已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证：BC=BE.
挑战自我
13.已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证：∠ABO=∠ACO；
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.
参考答案
课前预习
要点感知1 直角边 斜边、直角边 HL
预习练习1-1 D
预习练习2-1 ①③④⑤
当堂训练
1.Rt△ABC≌Rt△BAD.理由如下：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
2.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，
AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
3.证明：∵∠ACB=∠CFE＝90°，∴∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，AB=DE，BC=EF，∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL).∴AC=DF.∴AC-AF=DF-AF，即AD=CF.
4.B
5.(1)△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD.(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
课后作业
6.B 7.CB 8.90°
9.证明：∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△ECD中,AE=DE,
AB=EC,∴Rt△ABE≌Rt△ECD.∴BE=CD.∵BC=BE+EC,∴BC=AB+DC.
10.证明：∵在△ABC中,AD是中线,∴BD=CD.∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD＝∠BED＝90°.在△BED与△CFD中,∵∠BED＝∠CFD,∠BDE＝∠CDF,BD＝CD,∴△BED≌△CFD(AAS).∴BE=CF.
11.证明：∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD，
BF=DE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠BAF=∠DCE.∴AB∥CD.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,∴∠ADB=∠AFB=90°.∵AB=AB，AD=AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF.∴DB=FB.∵AC=AE,AD=AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE.∴DC=FE.∴DB-DC=FB-FE,即BC=BE.
13.(1)证明：过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥AC于F,则∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又∵OB=OC,∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL).∴∠ABO=∠ACO.(2)证明：过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E，F分别是垂足,则∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又OB=OC,∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠EBO=∠FCO.即∠ABO=∠ACO.
三角形全等的判定ASA，AAS
1、如果两个三角线的 以及 分别对应相等，那么这两个三角形 ，简写为“ ”或“ ”。
2、下列条件不一定能判断两个全等三角形的是（ ）
A、三边对应相等 B、两条边和夹角对应相等
C、两条边和一个角对应相等 D、两个角和夹边对应相等
3、如图，AB=DB，BC=BE，欲使△ABE≌△DBC，则须增加的条件是（ ）
A、∠A=∠D B、∠E=∠C C、∠A=∠C D、∠1=∠2
4．如图8所示，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，CG和FH分别是AB和DE边上的中线，再从以下条件①AB＝DE，②AC＝DF，③CG＝FH中任选取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成＿＿＿＿个正确的命题．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图，已知∠ADC=∠AEB，AD=AE，求证OB=OC.
证明：在△ABE和△ACD中
= （ ）
= （ ）
= （ ）
∴ ≌ （ ）
∴AB=AC （ ）
∠B=∠C （ ）
又∵AD=AE
∴ BD=CE（ ）
∠ADC=∠AEB （ ）
∠ =∠ （ ）
在△BOD和△COF中
= （ ）
= （ ）
= （ ）
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