24.1.1 圆
一、填空题
1．圆内接五边形各边相等，各边所对的圆心角的度数是 ．
2．如图1，在⊙O中，，∠B=70°，则∠C= ．
3．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是 ．
4．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°，则∠BAC= ．
5．如图2所示，弦AB过圆心O，∠A=30°，⊙O的半径长为，弦CD⊥AB于E，则CD的长为 ．
二、选择题
6．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
7．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）
A．AB=2CD B． C． D．
8．下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弦相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图3，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB的度数为（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
10．已知：如图4，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
三、解答题
11．如图5，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦求∠AOC与∠COF的度数．
12．如图6，一座圆弧形的拱桥，它所在圆的半径为10米，某天通过拱桥的水面宽度AB为16米，现有一小帆船高出水面的高度是3.5米，问小船能否从拱桥下通过？
13．如图7，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗?试说明理由．
参考答案
一、1． 2． 3． 4． 5．
二、6．A 7．B 8．A 9．C 10．D
三、11．解：因为，
所以，
所以．
12．先算出拱桥高出水面的高度为米，，因此可以通过．
13．解：因为，所以．
所以，即，
所以．
在与中，，，，
所以．
（2）点与点关于直线对称．
理由略．
，且AC=CD=DE=EF=FB，
24.1.2 垂直于弦的直径
1. 已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？
2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？
4. 如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。
5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
（4）题图 （5）题图 （6）题图
7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。
8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
9. 如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5
C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5
（7）题图 （8）题图 （9）题图
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等
11. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）
A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
13. △ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，以点A为圆心，以长为半径画圆，则点C在圆A___________，点B在圆A_________；
14. 圆的半径等于，圆内一条弦长2，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；
15. 如图所示，已知AB为圆O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=，求BC的长；
16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB，CD。
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径。
17. 已知：如图所示，Rt△ABC的两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2.4cm，r3=3cm，为半径作圆，试判断点D与这三个圆的位置关系。
18. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆。则A、B、C、D四点在圆内有_____________。
19. 等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC中点，以BC为直径作圆D。
（1）顶角A等于多少度时，A在圆D上？
（2）顶角A等于多少度时，A在圆D内部？
（3）顶角A等于多少度时，A在圆D外部？
20. 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离。
21. 如图所示，圆O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD。
22. 圆O中若直径为25cm，弦AB的弦心距10cm，求弦长。
23. 若圆的半径2cm，圆中一条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离？
24. 圆内一条弦与直径的交角为30°，且分直径为1cm和5cm两段，求弦心距，弦长？
25. 半径为5cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，最长弦是__________，
26. 如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。
参考答案
1. 过点O作于E
2. 175mm 3. 略 4. 8 5.
6. 7. 3.6 8. 120 9. B
10. D 11. A 12. D 13. 内部、外部
14. 15. BC=4cm 16. （1）图略 （2）
17. 外、上、内 18. C、D 19. （1）；
（2）为钝角； （3）为锐角。
20. 21. 22. 15cm 23.
24. 25.
26. （1）证明：过O作
（2）上述结论仍成立：
如下图所示
证明略。
24．1．3 弧、弦、圆心角
一、双基整合：
1．如图1，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且，那么与∠AOE相等的角有_____，与∠AOC相等的角有_________．
(1) (2) (3)
2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．
3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．
4．如图2，AB为圆O的直径，，∠A=25°，则∠BOD=______．
5．如图3，AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM，AB=6，则CD=_______．
6．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
7．如图4，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=BC B． C． D．OC=CN
(4) (5) (6)
8．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
9．如图5，在半径为2cm的圆O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（） A．60° B．90° C．120° D．150°
10．如图6，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．
11．已知如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，写出六条以上结论）
二、拓广探索:
12．如图7所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA=r，ON=a，则CD=_______．
(7) (8) (9)
13．如图8，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________．
14．如图9所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC=（ ） A．140° B．135° C．130° D．125°
15．如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证:．
三、智能升级:
16．如图：⊙O1和⊙O2是等圆，P是O1O2的中点，过P作直线AD交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D，求证：AB=CD．
17．如图所示，点O是∠EPF平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若角的顶点P在圆上或在圆内，（1）的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
参考答案
1．略 略 2．90° 3．：2 90° 4．50° 5．6 6．D 7．D 8．B 9．C 10．C 11．略 12．2 13．（2，0） 14．D
15．提示：连接OC，OD，由OM=OA，ON=OB，得OM=ON，OC=OD，
∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∵∠COA=∠DOB，∴
16．提示：过点O1作O1M⊥AB于M，过点O2作O2N⊥CD于N，
再证明△O1MP≌△O2NP，得OM=ON，∴AB=CD
17．（1）证明：过点O分别作PB、PD的垂线，垂足分别为M、N，
∵点O是∠EPF平分线上的点，∴OM=ON，从而AB=CD．
（2）结论成立，证明略．
24.1.4 圆周角
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
(1) (2) (3)
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（ ）．
A．3 B．3+ C．5- D．5
二、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．
(4) (5)
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
参考答案
一、1．D 2．B 3．D
二、1．120°或60° 2．90° 3．
三、1． 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=
3．（1）略 （2）4，（-2，2）
