24.1 圆的有关性质
24．1.1 圆
教学目标
1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念．
2．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算．
教学重点
圆的有关概念．
教学难点
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．
请你举出生活中一些圆的例子．从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质．
二、自主学习 指向目标
1．自学教材第79至80页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 圆的定义及表示
活动一：圆的定义．
图1
(1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周__，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__．
【展示点评】①在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，__圆心__确定位置，__半径__确定大小．
②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作__⊙A__，读作__圆A__．
(2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有__到定点O的距离等于定长r__的点的集合．
【小组讨论】圆和圆面有何不同？如何证明几个点在同一个圆上？
【反思小结】线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 圆的相关概念
图2
活动二：1.连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__．如图2，__AB__是⊙O的直径；在⊙O中，线段__AC__是弦．
思考：弦与直径有什么关系？
【展示点评】直径是经过圆心的弦．
2．圆弧是圆上__任意两点间的部分__，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做__半圆__．大于__半圆__的弧叫做优弧，小于__半圆__的弧叫做劣弧．
思考：(1)“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？
【展示点评】半圆是弧，但弧不一定是半圆．
(2)弧的表示：以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”，那么以M，N为端点的弧记作__MN ，读作__弧MN__．如图2，弦AC所对的弧有两条，其中优弧记作__ABC ，劣弧记作__AC ．
3．能够__重合__的两个圆叫做等圆．“由半径相等的两个圆是等圆”．
在同圆或等圆中，能够互相__重合__的弧叫做等弧．
【小组讨论】弦和直径有何联系和区别？弧与半圆有何区别和联系？
【反思小结】在理解圆的相关概念时要结合图形加强直观理解，特别要注意弦与直径，弧与半圆的区别与联系．直径是弦，但弦不一定是直径，半圆是弧，但弧不一定是半圆．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
1．圆圆的定义描述性定义
集合定义
圆的表示法、读法
圆的相关概念
2．应用：同圆的半径相等，圆心是任一直径的中点．
五、达标检测 反思目标
1．下列命题正确的有( A )
①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弦是半圆，半圆是弦
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10cm，则OD＝__5__cm.
4．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是( C )．
A．AD＝BC
B．AD∥BC
C．AD∥BC且AD＝BC
D．不能确定
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，求证：A、B、C三点共在同一圆上．
证明：∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD＝1,2AB，∵AD＝BD＝
1,2AB，∴AD＝BD＝CD，∴点A、B、C在以D为圆心，AD长为半径的圆上．
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第81页练习第1，3题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思__
24．1.2 垂直于弦的直径
教学目标
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算和作图问题，并会解决一些实际问题．
教学重点
垂径定理及推论．
教学难点
发现并证明垂径定理．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第81至83页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 垂径定理及其推论．
活动一：出示教材第81页“探究”，实践操作，问1：我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴有多少条？圆的任何一条直径都是它的对称轴，这种说法正确吗？
问2：如何证明圆是轴对称图形？
【展示点评】圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴；因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”．
问3：如图，当CD⊥直径AB时，你还可以得到 什么结论？
【展示点评】符号语言：
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴__CE__＝__ED__，
__AC ＝__AD ，__CB ＝__BD ．
(2)垂径定理的推论：
__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条孤．
符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE＝DE.
∵AB是直径，CE＝DE，
∴__AB⊥CD__，__AC＝AD ，__CB＝BD ．
【小组讨论】为什么要在垂径定理的推论中，加上“(不是直径)”这一限制条件？
【反思小结】学习垂径定理要注意：(1)条件中的“弦”可以是直径．(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 垂径定理的应用
活动三：出示教材第82页例2.
思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出图形，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？
【小组讨论】在解决此类问题中，常作辅助线的方法是什么？
【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式__R__2＝__d__2＋__(a,2)__2.
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
1．垂直于弦的直径圆的轴对称：________
垂径定理：________
垂径定理的推论：________
利用垂径定理解决问题
2．一种辅助线和一种数学思想方法．
五、达标检测 反思目标
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC＝__10__.
2．若圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为23 cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是__1__cm.
第1题图
第3题图
3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在半径为5 cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD的距离是( D )
A．7 cm B．1 cm C．7 cm或4 cm D．7 cm或1 cm
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第89页习题24.1第2，8题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思__
24．1.3 弧、弦、圆心角
教学目标
1．了解圆心角的概念．
2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．
3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算和证明．
教学重点
弧、弦、圆心角关系定理及推论．
教学难点
定理的探索、证明过程．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第83至84页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 圆心角
活动一：出示教材第83页“探究”，问1：你能得到什么结论？
问2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
【展示点评】圆是中心对称图形，同时也具有旋转对称性，顶点在圆心的角叫做圆心角．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 弧、弦、圆心角之间的关系
活动二：出示教材第84页思考，问1：AB和A'B'，弦AB和弦A'B'相等吗？
问2：如何证明它们的相等关系．
思考：圆是旋转对称的，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．那么，弧、弦、圆心角之间有何关系？
【展示点评】定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
符号语言：在⊙O中，∵∠AOB＝∠A′OB′，
∴AB＝A′B′.
推论：1.__________________.2.__________________．
符号语言：1.______________.2.________________．
【小组讨论】同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量有什么关系？
【反思小结】定理和推论都是以“在同圆或等圆中”为前提的，否则不成立．定理和推论可总结概括为：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
四、总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，即一项相等，其余二项相等．
五、达标检测 反思目标
1．已知圆O的半径为5，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝__60°或300°__．
第2题图
2．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A等于__40°__．
3．在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为( B )
A．42 B．82 C．24 D．16
4．如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD, 求证：OC∥AD.
【证明】 连接OD.∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOD＝2∠COD.∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝2∠ODA，∴∠COD＝∠ODA，∴OC∥AD.
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第89页第3，4题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思
24．1.4 圆周角
教学目标
1．了解圆周角、圆内接多边形的概念．
2．会证明圆周角定理及其推论．
3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算．
教学重点
圆周角的定理及应用．
教学难点
运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
如图是圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E、他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？
像∠ACB、∠ADB和∠AEB这样顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第85至88页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 出示教材第85页探究
活动一：圆周角定理的推导
思考：(1)在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？请在下列图中画出来．
(2)①当圆心在圆周角的一边上时，如何证明问题1中发现的结论？请结合上面画出的此种情况下的图形证明．②另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？
(3)类比上述方法思考：同弧AB所对的几个圆周角有什么关系？
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角、锐角、钝角中的哪一种角？90°的圆周角所对的弦叫做什么？
【展示点评】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径．
【小组讨论】圆周角定理的证明过程体现了什么数学思想？
【反思小结】圆周角定理的证明体现了分类讨论的数学思想．
活动二：出示教材第87页例4.
思考：解答过程中是如何应用∠ACB的平分线这一条件证得AD＝BD的？ 推理依据是什么？去掉“AD＝BD”这一步行吗？
【小组讨论】问题中的直角三角形是如何产生的？依据是什么？
【反思小结】半圆(或直径)所对的圆周角是直角这一推论为在圆中确定直角，构成垂直关系，创造了条件，有时在圆中没有直径时，还需构造出直径．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二
探究点二 圆内接四边形的性质
活动三：出示教材第87页思考．
【小组讨论】圆内接四边形的两组对角分别有怎样的关系？
【反思小结】圆内接四边形的对角互补的题设和结论分别是圆内接四边形的对角，互补．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点三
四、总结梳理 内化目标
1．两个概念：圆周角，圆内接四边形．
2．圆周角定理及其推论．
3．圆内接四边形的性质．
4．分类讨论的数学思想方法．
五、达标检测 反思目标
1．如图，在⊙O中，若C是BD的中点，则图中与∠BAC相等的角有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是( C )
A．156° B．78° C．39° D．12°
第1题图
第2题图
第3题图
3．(中考·深圳)如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为( C )
A．6 B．5 C．3 D．32
六、布置作业 巩固目标
1．上交作业 教材第89页第5，6，7题．
2．课后作业 见学生用书的“课后作业”部分．
